MAE NS › Bloque 5 · Análisis y probabilidad › Distribuciones de probabilidad

NS 4.12Tipificación de la variable normal

Estandarización (tipificación) de variables normales, mediante la puntuación z, y su uso en la resolución de problemas.

La puntuación z (variable tipificada)

Cualquier variable $X \sim N (μ, σ)$ puede transformarse en la variable normal estándar $Z \sim N (0, 1)$ (de media 0 y desviación típica 1) mediante el cambio:

$Z = \frac{X - μ}{σ}$

El valor de $z$ indica a cuántas desviaciones típicas por encima (si $z > 0$ ) o por debajo (si $z < 0$ ) de la media se encuentra el dato $x$ . Esta estandarización permite comparar valores procedentes de distribuciones normales distintas, situándolos en una escala común.

Figura 28. Tipificación: $P (X < 170)$ en $N (150, 15^{2})$ es igual a $P (Z < 1, 33)$ en $N (0, 1)$ .

Actividad resuelta

En un examen de Matemáticas, la nota sigue una distribución $𝐍 (𝟔, 𝟏, 𝟓)$ , y en un examen de Historia, $𝐍 (𝟔𝟓, 𝟏𝟎)$ . Un estudiante saca un 8 en Matemáticas y un 78 en Historia. ¿En qué examen obtuvo, relativamente, un mejor resultado?

$z_{M a t} = \frac{8 - 6}{1, 5} = 1, 33 z_{H i s t} = \frac{78 - 65}{10} = 1, 3$

Como $z_{M a t} = 1, 33 > z_{H i s t} = 1, 3$ , el resultado en Matemáticas es relativamente mejor: se aleja más (en desviaciones típicas) de la media de su respectivo examen.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Si X ∼ $N (150, 15^{2})$ , calcula la puntuación z de $x = 170$ y de $x = 135$ .

Ver solución

z = 20/15 ≈ 1,33 ; z = −15/15 = −1

2. Las notas de un examen siguen $N (62, 10^{2})$ . Calcula la probabilidad de que un alumno obtenga más de 75 usando la puntuación z y la calculadora.

Ver solución

z = 13/10 = 1,3 ⇒ P(X > 75) = P(Z > 1,3) ≈ 0,0968

3. Si X ∼ $N (μ, σ^{2})$ , $P (X < 40) = 0, 1587$ y $P (X < 60) = 0, 8413$ , halla μ y σ.

Ver solución

P(X < 40) = 0,1587 ⇒ z = −1 ; P(X < 60) = 0,8413 ⇒ z = 1. Luego μ = 50 y σ = 10

4. Las alturas de una población siguen $N (170, 8^{2})$ . Halla la altura mínima del 10 % más alto.

Ver solución

z = 1,2816 ⇒ x = 170 + 1,2816 · 8 ≈ 180,3 cm

5. Un alumno obtiene 78 en un examen con media 65 y $σ = 8$ , y otro obtiene 84 en otro examen con media 70 y $σ = 10$ . ¿Quién ha obtenido el mejor resultado relativo?

Ver solución

z₁ = (78 − 65)/8 = 1,625 ; z₂ = (84 − 70)/10 = 1,4. El primer alumno tiene mejor resultado relativo