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NS 1.16Resolución y discusión de sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales, hasta un máximo de tres ecuaciones con tres incógnitas, incluidos los casos en los que hay una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución.

Estos sistemas se resuelven utilizando tanto métodos algebraicos como tecnológicos (reducción por filas o matrices).

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas $x, y, z$ tiene la forma:

${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{matrix}$

Geométricamente, cada ecuación representa un plano en el espacio, por lo que resolver el sistema equivale a hallar la intersección de los tres planos. Este sistema puede resolverse mediante métodos algebraicos (sustitución, igualación o, especialmente, reducción, combinando pares de ecuaciones para eliminar incógnitas) o mediante métodos tecnológicos, empleando matrices y la reducción por filas con la calculadora.

Según el resultado obtenido al resolverlo, un sistema se clasifica en:

– Compatible determinado: tiene una única solución (los tres planos se cortan en un único punto).

– Compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones (los tres planos se cortan en una misma recta, o coinciden en un mismo plano). En este caso, la solución se expresa de forma general en función de un parámetro.

– Incompatible: no tiene solución (no existe ningún punto común a los tres planos).

Figura 16. Interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: tres planos.

Actividad resuelta

1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

${\begin{matrix} x + y + z = 6 \\ 2 x - y + z = 3 \\ x + 2 y - z = 2 \end{matrix}$

Sumando la primera y la segunda ecuación se elimina $y$ :

$3 x + 2 z = 9 (I)$

Sumando la primera y la tercera ecuación se elimina $z$ :

$2 x + 3 y = 8 (II)$

Multiplicando la segunda ecuación original por 2 y sumándola a la tercera se elimina $y$ de nuevo:

$5 x + z = 8 \to z = 8 - 5 x (III)$

Sustituyendo (III) en (I): $3 x + 2 (8 - 5 x) = 9 \to 3 x + 16 - 10 x = 9 \to - 7 x = - 7 \to x = 1$

Con $x = 1$ : $z = 8 - 5 (1) = 3$ . Sustituyendo en la primera ecuación: $1 + y + 3 = 6 \to y = 2$

La solución, única, es $x = 1, y = 2, z = 3$ : el sistema es compatible determinado.

2. Resuelve y clasifica el siguiente sistema de ecuaciones:

${\begin{matrix} x + y - z = 2 \\ 2 x - y + 3 z = 1 \\ 4 x + y + z = 5 \end{matrix}$

Sumando la primera y la segunda ecuación:

$3 x + 2 z = 3 (I)$

Restando la primera ecuación multiplicada por 3 a la tercera ecuación ( $4 x + y + z - 3 (x + y - z)$ ):

$x - 2 y + 4 z = - 1 \to multiplicando la primera por 2 y sumando: 3 x + 2 z = 3 (II)$

Las ecuaciones (I) y (II) resultan idénticas, lo que indica que el sistema tiene infinitas soluciones: es compatible indeterminado. Se expresa la solución general en función de un parámetro, tomando $z = t$ :

$3 x + 2 t = 3 \to x = \frac{3 - 2 t}{3}$

Sustituyendo en la primera ecuación: $\frac{3 - 2 t}{3} + y - t = 2 \to y = 2 + t - \frac{3 - 2 t}{3} = \frac{3 + 5 t}{3}$

La solución general del sistema es:

$(x, y, z) = (\frac{3 - 2 t}{3}, \frac{3 + 5 t}{3}, t), t \in ℝ$

3. Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones:

${\begin{matrix} x + 2 y - z = 1 \\ 2 x + 4 y - 2 z = 5 \\ x - y + z = 0 \end{matrix}$

Se observa que la segunda ecuación es el doble de la primera en su parte izquierda, $2 (x + 2 y - z) = 2 x + 4 y - 2 z$ , pero no en su parte derecha, ya que $2 \cdot 1 = 2 \neq 5$ . Las dos ecuaciones representan planos paralelos y distintos, por lo que no pueden tener ningún punto en común. El sistema es, por tanto, incompatible: no tiene solución.

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

El menú EQUA → Simultaneous (Simultáneo) permite resolver directamente sistemas de hasta 3 ecuaciones con 3 incógnitas: se selecciona el número de incógnitas, se introducen los coeficientes en la matriz que muestra la calculadora y se pulsa SOLVE (o EXE) para obtener la solución. Si el sistema es incompatible o indeterminado, la calculadora indica “No-Solution” o “Infinite Solutions”, respectivamente.

🧩 Discusión de sistemas lineales

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🧩 Método de Gauss

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🧩 Regla de Cramer

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🧩 Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones

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🧩 Sistemas de ecuaciones con parámetros

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Resuelve por eliminación (o con la calculadora) el sistema: $x + y + z = 6$ ; $2 x - y + z = 3$ ; $x + 2 y - z = 2$ .

Ver solución

x = 1, y = 2, z = 3

2. Resuelve con la calculadora (MENU → EQUA) y comprueba la solución a mano: $2 x + y - z = 1$ ; $x - y + 2 z = 5$ ; $3 x + 2 y + z = 10$ .

Ver solución

x = 1, y = 2, z = 3 (comprobación: 2 + 2 − 3 = 1 ; 1 − 2 + 6 = 5 ; 3 + 4 + 3 = 10)

3. Discute y resuelve el sistema: $x + y + z = 1$ ; $x + y + 2 z = 3$ ; $2 x + 2 y + 3 z = 4$ . ¿Cuántas soluciones tiene? Interprétalo geométricamente.

Ver solución

Restando las dos primeras: z = 2 ; entonces x + y = −1. La tercera ecuación (2x + 2y + 6 = 4) se cumple. Sistema compatible indeterminado: x = t, y = −1 − t, z = 2 (infinitas soluciones). Geométricamente los tres planos se cortan en una recta

4. Demuestra que el sistema $x + y + z = 2$ ; $2 x + 2 y + 2 z = 7$ ; $x - y = 0$ es incompatible. Describe la posición relativa de los tres planos.

Ver solución

La 2.ª ecuación equivale a x + y + z = 7/2, que contradice la 1.ª (x + y + z = 2). Sistema incompatible: los planos 1 y 2 son paralelos y distintos, y el tercero los corta

5. Halla el valor de k para que el sistema $x + y + z = 1$ ; $x + 2 y + z = 2$ ; $2 x + 3 y + 2 z = k$ sea compatible. Para ese k, ¿es determinado o indeterminado?

Ver solución

Restando las dos primeras: y = 1 ; x + z = 0. La tercera: 2(x + z) + 3 = k ⇒ k = 3. Para k = 3 el sistema es compatible indeterminado (x = t, y = 1, z = −t). Si k ≠ 3, es incompatible