MAE NS › Bloque 1 · Aritmética y álgebra › Números complejos

NS 1.13Formas de un número complejo y operaciones

La forma módulo-argumental (polar): $𝐳 = 𝐫 (𝐜 𝐨 𝐬 𝛉 + 𝐢 sen 𝛉) = 𝐫 cis 𝛉$ .

La forma de Euler: $𝐳 = 𝐫 𝐞^{𝐢 𝛉}$ .

Sumas, productos y cocientes en forma cartesiana, polar o de Euler, y su interpretación geométrica.

Forma polar (módulo-argumental)

Todo número complejo $z = a + b i$ , no nulo, con módulo $r = | z |$ y argumento $θ = a r g (z)$ , puede escribirse a partir de las relaciones $a = r cos θ$ y $b = r sen θ$ como:

$z = r (cos θ + i sen θ) = r cis θ$

Esta expresión se denomina forma polar o forma módulo-argumental de $z$ .

Forma de Euler

A partir de la identidad de Euler, $cos θ + i sen θ = e^{i θ}$ , un número complejo también puede escribirse en forma de Euler o forma exponencial:

$z = r e^{i θ}$

Conversión entre formas

Para pasar de forma cartesiana a forma polar o de Euler se calculan el módulo y el argumento, ya vistos en el apartado anterior:

$r = | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} θ = a r g (z)$

Para pasar de forma polar o de Euler a forma cartesiana, basta con calcular $a = r cos θ$ y $b = r sen θ$ .

Producto y cociente en forma polar y de Euler

La gran ventaja de las formas polar y de Euler es la simplicidad con la que se multiplican y dividen números complejos: el producto de dos números complejos tiene por módulo el producto de los módulos, y por argumento la suma de los argumentos; el cociente tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de los argumentos.

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} r_{2} cis (θ_{1} + θ_{2}) = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} cis (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$

Geométricamente, multiplicar por $z_{2} = r_{2} cis θ_{2}$ equivale a aplicar al punto $z_{1}$ una rotación de ángulo $θ_{2}$ respecto al origen junto con una homotecia (escalado) de razón $r_{2}$ .

Figura 12. Forma polar: módulo r y argumento θ a partir de las partes real e imaginaria.

Figura 13. Producto en forma polar: se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

Actividad resuelta

1. Expresa $𝐳 = 𝟏 + 𝐢 \sqrt{𝟑}$ en forma polar y en forma de Euler.

Módulo: $r = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{4} = 2$

Argumento: $θ = a r c t a n (\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{π}{3}$ (primer cuadrante)

$z = 2 (cos \frac{π}{3} + i sen \frac{π}{3}) = 2 cis \frac{π}{3} = 2 e^{i \frac{π}{3}}$

2. Dados $𝐳_{𝟏} = 𝟒 cis 𝟔𝟎^{\circ}$ y $𝐳_{𝟐} = 𝟐 cis 𝟏𝟓^{\circ}$ , calcula $𝐳_{𝟏} \cdot 𝐳_{𝟐}$ y $\frac{𝐳_{𝟏}}{𝐳_{𝟐}}$ de forma directa.

$z_{1} \cdot z_{2} = (4 \cdot 2) cis (60^{\circ} + 15^{\circ}) = 8 cis 75^{\circ}$

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{4}{2} cis (60^{\circ} - 15^{\circ}) = 2 cis 45^{\circ}$

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

El mismo menú OPTN → CPLX incluye las conversiones r∠θ y a+bi (opciones “r∠θ” y “a+bi” del propio menú), que permiten pasar directamente de la forma cartesiana a la polar (o de Euler) y viceversa, así como operar productos y cocientes en la forma que resulte más cómoda.

🧩 Forma polar y forma trigonométrica

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🧩 Producto de complejos en forma polar

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🧩 Relaciones entre formas de un complejo

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Escribe en forma polar r cis θ (θ en radianes):

a) $1 + i$

b) $- \sqrt{3} + i$

c) $- 2 i$

d) $- 3$

Ver solución

a) √2 cis π/4

b) r = 2, θ = 5π/6 ⇒ 2 cis 5π/6

c) 2 cis 3π/2 (o también 2 cis(−π/2))

d) 3 cis π

2. Escribe en forma binómica:

a) $2 (cos \frac{π}{3} + i s e n \frac{π}{3})$

b) 4 cis 150°

c) 3 cis π

Ver solución

a) 1 + √3 i

b) 4(−√3/2 + i/2) = −2√3 + 2i

c) −3

3. Sean $z_{1} = 2$ cis 40° y $z_{2} = 5$ cis 80°. Calcula en forma polar:

a) $z_{1} z_{2}$

b) $\frac{z_{2}}{z_{1}}$

Ver solución

a) z₁z₂ = 10 cis 120°

b) z₂/z₁ = (5/2) cis 40°

4. Escribe $1 - i$ en forma exponencial r $e^{i θ}$ y comprueba que $e^{i π} + 1 = 0$ .

Ver solución

1 − i = √2 e^(−iπ/4). e^(iπ) + 1 = cos π + i sen π + 1 = −1 + 0 + 1 = 0

5. Sean $z_{1} = \sqrt{3} + i$ y $z_{2} = 1 + \sqrt{3}$ i. Calcula $z_{1} z_{2}$ pasando a forma polar y comprueba el resultado multiplicando en forma binómica.

Ver solución

z₁ = 2 cis 30°, z₂ = 2 cis 60° ⇒ z₁z₂ = 4 cis 90° = 4i. En binómica: (√3 + i)(1 + √3 i) = √3 + 3i + i − √3 = 4i ✓

6. Representa en el plano de Argand los números complejos que cumplen:

a) |z $| = 2 |$

b) arg $z = \frac{π}{4}$

Ver solución

a) Circunferencia de centro el origen y radio 2

b) Semirrecta que parte del origen (sin incluirlo) con ángulo 45° (y = x, con x > 0)