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NS 3.11Análisis de gráficas de funciones trigonométricas

Relaciones que existen entre las distintas funciones trigonométricas y propiedades de simetría de sus gráficos: $s e n (𝛑 - 𝛉) = s e n 𝛉$ , $𝐜𝐨𝐬 (𝛑 - 𝛉) = - 𝐜 𝐨 𝐬 𝛉$ , $𝐭𝐚𝐧 (𝛑 - 𝛉) = - 𝐭 𝐚 𝐧 𝛉$ .

Simetrías de las funciones trigonométricas

Las gráficas de $s e n x$ , $cos x$ y $tan x$ presentan propiedades de simetría que se deducen del círculo de radio unidad (apartado 3.5) y que están relacionadas con el carácter par o impar de estas funciones. El coseno es una función par ( $cos (- x) = c o s x$ , simétrica respecto al eje Y), mientras que el seno y la tangente son funciones impares ( $s e n (- x) = - s e n x$ , $tan (- x) = - t a n x$ , simétricas respecto al origen).

De la fórmula de la diferencia vista en 3.10, haciendo $A = π$ , se deducen además las relaciones entre un ángulo y su suplementario:

$s e n (π - θ) = s e n θ cos (π - θ) = - c o s θ tan (π - θ) = - t a n θ$

Estas relaciones se aprecian directamente en la gráfica: la de $s e n x$ es simétrica respecto a la recta $x = \frac{π}{2}$ , mientras que la de $cos x$ es antisimétrica respecto a ese mismo valor.

Figura 52. Signos de las razones trigonométricas por cuadrantes y ángulos relacionados con θ.

Actividad resuelta

Sabiendo que $s e n θ = 0, 42$ , halla, sin usar la calculadora, el valor de $s e n (π - θ)$ y de $cos (π - θ)$ si se sabe además que $cos θ = 0, 91$ .

$s e n (π - θ) = s e n θ = 0, 42 cos (π - θ) = - c o s θ = - 0, 91$

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🧩 Funciones trigonométricas

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Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Sabiendo que $s e n θ = 0, 42$ y $cos θ = 0, 91$ , halla sin calculadora $s e n (π - θ)$ , $cos (π - θ)$ y $tan (π - θ)$ .

Ver solución

sen(π − θ) = 0,42 ; cos(π − θ) = −0,91 ; tan(π − θ) = −0,42/0,91 ≈ −0,462

2. Utiliza la simetría de la gráfica de $y = s e n x$ para hallar todas las soluciones de $s e n x = 0, 5$ en $[0, 2 π]$ , a partir de $x = \frac{π}{6}$ .

Ver solución

x = π/6 y x = π − π/6 = 5π/6

3. Demuestra que $s e n (π - θ) = s e n θ$ y $cos (π - θ) = - cos θ$ usando la fórmula de la diferencia de ángulos.

Ver solución

sen(π − θ) = sen π cos θ − cos π sen θ = 0 + sen θ. cos(π − θ) = cos π cos θ + sen π sen θ = −cos θ

4. Indica si cada afirmación es verdadera o falsa y justifica con la gráfica:

a) $cos (- x) = cos x$

b) $s e n (- x) = s e n x$

c) $tan (- x) = - tan x$

Ver solución

a) Verdadera: la gráfica del coseno es simétrica respecto del eje Y

b) Falsa: sen(−x) = −sen x (simetría respecto del origen)

c) Verdadera: la tangente es impar

5. Dibuja en los mismos ejes $y = s e n x$ e $y = cos x$ en $[0, 2 π]$ . ¿Qué desplazamiento horizontal relaciona ambas gráficas?

Ver solución

Las gráficas son idénticas salvo un desplazamiento horizontal de π/2: cos x = sen(x + π/2), es decir, el coseno es el seno desplazado π/2 hacia la izquierda