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NM 1.5Potencias y logaritmos

Extensión de las leyes de las potencias a exponentes racionales. Introducción al logaritmo como operación inversa de la potenciación.

Potencias de exponente racional

Las leyes de las potencias, ya conocidas para exponentes enteros, se extienden a exponentes racionales mediante la relación:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

El logaritmo

El logaritmo en base $a$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ) de un número positivo $x$ es el exponente $y$ al que hay que elevar $a$ para obtener $x$ :

${log}_{a} x = y \Leftrightarrow a^{y} = x$

Cuando la base es 10 se escribe simplemente $log x$ , y cuando la base es el número $e$ se escribe $ln x$ (logaritmo natural).

Figura 1. Gráficas de $y = {log}_{2} x$ y de su inversa $y = 2^{x}$ : son simétricas respecto de $y = x$ .

Actividad resuelta

Calcula: a) ${𝟐𝟕}^{\frac{𝟐}{𝟑}}$ b) ${𝐥𝐨𝐠}_{𝟐} 𝟑𝟐$

a) $27^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{27})}^{2} = 3^{2} = 9$

b) Se busca $y$ tal que $2^{y} = 32$ ; como $2^{5} = 32$ , entonces ${log}_{2} 32 = 5$ .

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Simplifica y expresa el resultado como una sola potencia (sin calculadora):

a) $2^{3} \cdot 2^{5}$

b) $\frac{3^{7}}{3^{4}}$

c) ${(5^{2})}^{3}$

d) ${(- 7)}^{0}$

e) $4^{- 2}$

Ver solución

a) 2⁸

b) 3³

c) 5⁶

d) 1

e) 4⁻² = 1/16 = 2⁻⁴

2. Calcula sin calculadora:

a) $9^{\frac{1}{2}}$

b) $8^{\frac{1}{3}}$

c) $16^{\frac{3}{4}}$

d) $27^{- \frac{2}{3}}$

e) ${(\frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}}$

Ver solución

a) 3

b) 2

c) 8

d) 1/9

e) 2

3. Calcula sin calculadora el valor de cada logaritmo:

a) ${log}_{2} 8$

b) ${log}_{3} 81$

c) log 1000

d) ${log}_{5} 1$

e) ${log}_{2} \frac{1}{4}$

f) ln e

Ver solución

a) 3

b) 4

c) 3

d) 0

e) −2

f) 1

4. Escribe en forma logarítmica y en forma exponencial, según corresponda:

a) $2^{5} = 32$

b) ${log}_{7} 49 = 2$

c) $10^{3} = 1000$

d) ${log}_{5} 125 = 3$

Ver solución

a) log₂ 32 = 5

b) 7² = 49

c) log 1000 = 3

d) 5³ = 125

5. Resuelve las ecuaciones exponenciales (da el resultado exacto cuando sea posible):

a) $2^{x} = 64$

b) $3^{x} = \frac{1}{9}$

c) $10^{x} = 0, 001$

d) $5^{x} = 20$ (con calculadora, a 2 cifras decimales)

Ver solución

a) x = 6

b) x = −2

c) x = −3

d) x = log 20 / log 5 ≈ 1,86

6. Resuelve las ecuaciones logarítmicas:

a) ${log}_{2} x = 5$

b) ${log}_{3} x = - 2$

c) $log x = 2$

d) $ln x = 1$

Ver solución

a) x = 2⁵ = 32

b) x = 3⁻² = 1/9

c) x = 10² = 100

d) x = e

7. Una población de bacterias sigue el modelo $P = 100 \cdot 2^{t}$ , con t en horas.

a) ¿Cuántas bacterias hay a las 5 horas?

b) ¿Cuántas horas tardan en llegar a 25 600 bacterias?

Ver solución

a) P = 100 · 2⁵ = 3200 bacterias

b) 2ᵗ = 256 ⇒ t = 8 horas