NM 4.5Correlación lineal y regresión

Datos bivariados: diagrama de dispersión; correlación lineal. Coeficiente de correlación de Pearson, $𝐫$. Recta de regresión de mínimos cuadrados. Uso de la recta de regresión para la interpolación y la extrapolación (con precaución).

Diagrama de dispersión y correlación

Un diagrama de dispersión representa cada par de valores $(x_i,y_i)$ de dos variables como un punto en el plano, y permite observar si existe una relación (correlación) entre ambas, y si esta es lineal.

Coeficiente de correlación de Pearson

El coeficiente de correlación de Pearson, $r$, mide la fuerza y el sentido de la relación lineal entre dos variables, y toma valores entre $-1$ y $1$:

$$r=\frac{\sum _i^{}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum _i^{}{(x_i-\bar{x})}^2}\sqrt{\sum _i^{}{(y_i-\bar{y})}^2}}$$

Cuanto más cerca esté $\left|r\right|$ de 1, más fuerte es la correlación lineal (positiva si $r>0$, negativa si $r<0$); un valor de $r$ cercano a 0 indica ausencia de correlación lineal (aunque podría existir una relación no lineal).

Recta de regresión de mínimos cuadrados

La recta de regresión $y=mx+n$ es la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta. Se utiliza para interpolar (estimar valores de $y$ dentro del rango de los datos observados, con fiabilidad razonable) o extrapolar (estimar valores fuera de ese rango, lo cual debe hacerse con precaución, ya que no hay garantía de que la relación lineal se mantenga fuera del rango estudiado).

Figura 57. Recta de regresión y predicción (puntos ilustrativos).

Figura 58. Tipos de correlación en un diagrama de dispersión.