MAE NS › Bloque 4 · Complejos, geometría y análisis › Ampliación de la derivada

NS 5.11Derivadas adicionales

Derivada de $𝐭 𝐚 𝐧 𝐱$ , $𝐬 𝐞 𝐜 𝐱$ , $c o s e c 𝐱$ , $𝐜 𝐨 𝐭 𝐱$ , $𝐚^{𝐱}$ , ${𝐥𝐨𝐠}_{𝐚} 𝐱$ , $𝐚 𝐫 𝐜 𝐬 𝐢 𝐧 𝐱$ , $𝐚 𝐫 𝐜 𝐜 𝐨 𝐬 𝐱$ y $𝐚 𝐫 𝐜 𝐭 𝐚 𝐧 𝐱$ .

Tabla ampliada de derivadas

Estas derivadas, combinadas con la regla de la cadena, permiten derivar funciones compuestas que incluyan estas expresiones.

Figura 10. La derivada de sen x es cos x: donde sen x tiene un máximo o un mínimo, su derivada vale 0.

Deriva $𝐟 (𝐱) = 𝐚 𝐫 𝐜 𝐭 𝐚 𝐧 (𝟑 𝐱)$ y $𝐠 (𝐱) = 𝟐^{𝐱^{𝟐}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{1 + {(3 x)}^{2}} = \frac{3}{1 + 9 x^{2}}$

$g' (x) = 2^{x^{2}} \cdot l n 2 \cdot 2 x = 2 x \cdot 2^{x^{2}} ln 2$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Deriva:

a) $f (x) = tan x$

b) $f (x) = arctan (2 x)$

c) $f (x) = a r c s e n \frac{x}{2}$

d) $f (x) = 2^{x}$

Ver solución

a) sec²x

b) 2/(1 + 4x²)

c) 1/√(4 − x²)

d) 2ˣ ln 2

2. Deriva aplicando las reglas del producto y de la cadena:

a) $f (x) = x tan x$

b) $f (x) = ln (cos x)$

c) $f (x) = tan (x^{2})$

d) $f (x) = s e n (e^{x})$

Ver solución

a) tan x + x sec²x

b) −tan x

c) 2x sec²(x²)

d) eˣ cos(eˣ)

3. Halla la ecuación de la tangente a $y = arctan x$ en $x = 1$ .

Ver solución

f(1) = π/4 ; f′(1) = 1/2 ⇒ y = x/2 + π/4 − 1/2

4. Calcula $f' (\frac{π}{4})$ para $f (x) = tan x$ y para $g (x) = sec x$ .

Ver solución

f′(π/4) = sec²(π/4) = 2 ; g′(π/4) = sec(π/4) tan(π/4) = √2

5. Deriva $f (x) = {log}_{3} x$ y $g (x) = x \cdot 5^{x}$ .

Ver solución

f′(x) = 1/(x ln 3) ; g′(x) = 5ˣ + x 5ˣ ln 5 = 5ˣ(1 + x ln 5)