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NM 1.8Suma de progresiones geométricas convergentes infinitas

Suma de una progresión geométrica infinita convergente, con $| 𝐫 | < 𝟏$ .

Series geométricas infinitas

Cuando $| r | < 1$ , los términos de una progresión geométrica se acercan cada vez más a 0 a medida que $n$ crece, de modo que la suma de infinitos términos tiende a un valor finito. Esta suma, llamada suma de la serie geométrica infinita, se obtiene tomando el límite de $S_{n}$ cuando $n \to \infty$ en la fórmula ya conocida:

$S_{\infty} = \frac{u_{1}}{1 - r}, | r | < 1$

Si $| r | \geq 1$ , la serie no converge y no tiene suma finita.

Figura 9. Suma de una serie geométrica convergente: las sumas parciales se aproximan a $S_{\infty} = 16$ .

Actividad resuelta

Calcula la suma de la serie $𝟖 + 𝟒 + 𝟐 + 𝟏 + \dots$

Se trata de una progresión geométrica con $u_{1} = 8$ y $r = \frac{1}{2}$ (pues $| r | < 1$ , la serie converge):

$S_{\infty} = \frac{u_{1}}{1 - r} = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Decide si cada serie geométrica converge y, en caso afirmativo, calcula su suma:

a) $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$

b) $3 + 6 + 12 + 24 + \dots$

c) $5 - \frac{5}{2} + \frac{5}{4} - \dots$

d) $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots$

Ver solución

a) r = 1/2 converge ; S = 8/(1 − 1/2) = 16

b) r = 2 diverge

c) r = −1/2 converge ; S = 5/(3/2) = 10/3

d) r = 1/3 converge ; S = 1/(2/3) = 3/2

2. Una serie geométrica infinita tiene $u_{1} = 12$ y $S_{\infty} = 18$ . Halla la razón r y escribe los cuatro primeros términos.

Ver solución

12/(1 − r) = 18 ⇒ 1 − r = 2/3 ⇒ r = 1/3. Términos: 12, 4, 4/3, 4/9

3. Expresa como fracción irreducible mediante una serie geométrica:

a) 0,444…

b) 0,2323…

c) 0,1666…

Ver solución

a) 0,444… = (4/10)/(1 − 1/10) = 4/9

b) 0,2323… = (23/100)/(1 − 1/100) = 23/99

c) 0,1666… = 1/10 + (6/100)/(1 − 1/10) = 1/10 + 1/15 = 1/6

4. Halla los valores de x para los que converge la serie $1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{3}}{8} + \dots$ y escribe su suma en función de x.

Ver solución

Razón r = x/2 ; converge si |x/2| < 1, es decir, −2 < x < 2. Suma = 1/(1 − x/2) = 2/(2 − x)

5. Una pelota se deja caer desde 2 m de altura y en cada rebote alcanza el 60 % de la altura anterior. Calcula la distancia total recorrida hasta que se detiene.

Ver solución

Bajadas: 2 + 1,2 + 0,72 + … = 2/(1 − 0,6) = 5 m. Subidas: 1,2 + 0,72 + … = 1,2/(1 − 0,6) = 3 m. Distancia total = 5 + 3 = 8 m

6. La suma de los infinitos términos de una serie geométrica es el cuádruple de su primer término. Halla la razón r.

Ver solución

u₁/(1 − r) = 4u₁ ⇒ 1 − r = 1/4 ⇒ r = 3/4