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NM 2.9Resolución de ecuaciones: Métodos gráficos y analíticos

Resolución de ecuaciones, tanto gráfica como analíticamente. Uso de la resolución de ecuaciones que surgen de contextos reales.

Métodos de resolución

Una ecuación $f (x) = g (x)$ puede resolverse analíticamente (despejando algebraicamente la incógnita) o gráficamente (representando $y = f (x)$ e $y = g (x)$ , y localizando el punto o los puntos de corte de ambas gráficas; equivalentemente, representando $y = f (x) - g (x)$ y buscando sus ceros). El método gráfico es especialmente útil cuando la ecuación no tiene una solución algebraica sencilla (por ejemplo, cuando combina términos polinómicos, exponenciales y logarítmicos).

Figura 26. Puntos de intersección de las gráficas de f y g: soluciones de $f (x) = g (x)$ .

Actividad resuelta

El coste de fabricar x unidades de un producto es $𝐂 (𝐱) = 𝟓𝟎𝟎 + 𝟖 𝐱$ euros, y el ingreso por venderlas es $𝐈 (𝐱) = 𝟐𝟎 𝐱$ euros. Halla analíticamente el número de unidades que hay que vender para que el ingreso iguale al coste (punto de equilibrio), e interpreta el resultado.

$I (x) = C (x) \to 20 x = 500 + 8 x \to 12 x = 500 \to x = 41, 67$

Como el número de unidades debe ser entero, se necesitan vender 42 unidades para que el ingreso supere al coste (el punto de equilibrio exacto, 41,67 unidades, no es una cantidad realizable).

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

Para resolver gráficamente una ecuación f(x)=g(x), en MENU → GRAPH se dibujan Y1=f(x) e Y2=g(x) y, con SHIFT + F5 (G-Solv) → ISCT, se obtienen directamente las coordenadas de sus puntos de corte, que son las soluciones de la ecuación.

🧩 Ecuaciones bicuadradas

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🧩 Sistemas no lineales

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Resuelve analíticamente:

a) $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

b) $2 x^{3} - 8 x = 0$

c) $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Ver solución

a) x = 2 o x = 3

b) 2x(x² − 4) = 0 ⇒ x = 0, ±2

c) t = x²: t² − 5t + 4 = 0 ⇒ t = 1 o 4 ⇒ x = ±1, ±2

2. Resuelve gráficamente con la calculadora (3 cifras significativas):

a) $e^{x} = 3 - x$

b) $x^{3} - 2 x - 1 = 0$

Ver solución

a) x ≈ 0,792

b) x = −1, x ≈ −0,618 y x ≈ 1,62

3. Resuelve $| 2 x - 1 | = 3$ .

Ver solución

2x − 1 = 3 o 2x − 1 = −3 ⇒ x = 2 o x = −1

4. Halla los puntos de corte de $y = x^{2} - 2$ e $y = x + 4$ .

Ver solución

x² − 2 = x + 4 ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ x = 3 o x = −2 ⇒ puntos (3, 7) y (−2, 2)

5. Resuelve $\sqrt{x + 3} = x - 3$ y comprueba las soluciones obtenidas.

Ver solución

x + 3 = (x − 3)² ⇒ x² − 7x + 6 = 0 ⇒ x = 1 o x = 6. Comprobación: x = 1 no vale (√4 = 2 ≠ −2) ; x = 6 vale (√9 = 3). Solución: x = 6

6. Un rectángulo tiene perímetro 30 cm y área $56 {c m}^{2}$ . Plantea y resuelve una ecuación para hallar sus dimensiones.

Ver solución

x + y = 15 ; xy = 56 ⇒ x² − 15x + 56 = 0 ⇒ 7 cm y 8 cm