NS 1.12Números complejos

El número i, donde ${𝐢}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathrm{𝟏}$.

Forma cartesiana $𝐳\mathbf{=}𝐚\mathbf{+}𝐛𝐢$; los términos parte real, parte imaginaria, conjugado, módulo y argumento.

El plano complejo (diagrama de Argand).

El número i

Hasta ahora, dentro del conjunto de los números reales, no ha sido posible resolver ecuaciones como $x^2+1=0$, ya que ningún número real elevado al cuadrado da como resultado un número negativo. Para dar solución a este tipo de ecuaciones se define la unidad imaginaria $i$ como:

$$i=\sqrt{-1}\iff i^2=-1$$

Forma cartesiana de un número complejo

Un número complejo $z$ se expresa en forma cartesiana (o binómica) como:

$$z=a+bi,a,b\mathbb{\in }ℝ$$

donde $a=\mathrm{\text{Re}}\left(z\right)$ se denomina parte real y $b=\mathrm{\text{Im}}\left(z\right)$ se denomina parte imaginaria de $z$. El conjunto de los números complejos se representa como $ℂ$.

El conjugado de $z=a+bi$ es el número complejo que se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria:

$$\bar{z}=a-bi$$

El módulo de $z$, denotado $\left|z\right|$, es la distancia del punto $(a,b)$ al origen:

$$\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$$

El argumento de $z$, denotado $arg\left(z\right)=\theta$, es el ángulo que forma el segmento que une el origen con $(a,b)$ y el semieje real positivo.

El plano complejo

Todo número complejo $z=a+bi$ se puede representar como un punto $(a,b)$, o como un vector con origen en $(0,0)$ y extremo en $(a,b)$, en un plano cuyo eje horizontal recoge la parte real y cuyo eje vertical recoge la parte imaginaria. Esta representación se conoce como plano complejo o diagrama de Argand.

Operaciones en forma cartesiana

Las operaciones de suma, resta y multiplicación con números complejos en forma cartesiana se realizan tratando $i$ como una indeterminada, sustituyendo $i^2$ por $-1$ cuando aparezca:

$$(a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$$

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Para dividir dos números complejos se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador, de manera que este se convierte en un número real:

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

Figura 11. Diagrama de Argand: el número complejo z, su módulo, su argumento y su conjugado.

c.

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{3-2i}{-1+4i}=\frac{(3-2i)(-1-4i)}{(-1+4i)(-1-4i)}=\frac{-3-12i+2i+8i^2}{1+16}=\frac{-11-10i}{17}=-\frac{11}{17}-\frac{10}{17}i$$

2. Calcula el módulo, el argumento y el conjugado de $𝐳\mathbf{=}\mathbf{-}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{+}𝐢$.

El conjugado es $\bar{z}=-\sqrt{3}-i$.

El módulo es $\left|z\right|=\sqrt{{(-\sqrt{3})}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$.

Como la parte real es negativa y la parte imaginaria positiva, $z$ se encuentra en el segundo cuadrante:

$$\theta =\pi -arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$$