NS 4.13Variables aleatorias continuas

Variables aleatorias continuas y su función de densidad de probabilidad. Cálculo de la media, la mediana, la moda, la varianza y el rango intercuartílico de una variable aleatoria continua a partir de su función de densidad.

Función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria continua $X$ queda descrita por su función de densidad de probabilidad, $f\left(x\right)$, que debe cumplir:

$$f\left(x\right)\ge 0paratodox{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)dx=1$$

La probabilidad de que $X$ tome un valor en un intervalo $[a,b]$ es el área bajo la curva de $f\left(x\right)$ entre $a$ y $b$: $P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$. Nótese que, para una variable continua, $P(X=c)=0$ para cualquier valor concreto $c$.

Media, mediana y otras medidas

A partir de $f\left(x\right)$, se define el valor esperado (media) como:

$$E\left(X\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot f\left(x\right)dx$$

La mediana, $m$, es el valor que cumple ${\int }_{-\infty }^{m}f\left(x\right)dx=0,5$ (deja la mitad del área a cada lado); la moda es el valor de $x$ donde $f\left(x\right)$ alcanza su máximo.

Figura 29. Función de densidad: las probabilidades son áreas bajo la curva; el área total es 1.