MAE NS › Bloque 4 · Complejos, geometría y análisis › Integrales I

NM 5.8La integral definida y el área bajo una curva

La integral definida como área bajo una curva. Cálculo de áreas de regiones limitadas por una gráfica y el eje X, utilizando tecnología cuando sea necesario. El teorema fundamental del cálculo.

El teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo relaciona la integral definida con las primitivas: si $F$ es una primitiva de $f$ , entonces:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}$

El área bajo una curva

Si $f (x) \geq 0$ en $[a, b]$ , la integral definida $\int_{a}^{b} f (x) d x$ es exactamente el área de la región limitada por la gráfica de $f$ , el eje X, y las rectas $x = a$ y $x = b$ . Si la gráfica de $f$ está por debajo del eje X en parte del intervalo, la integral en ese tramo resulta negativa; para calcular el área real (siempre positiva), debe tomarse el valor absoluto de la integral en cada tramo donde la función cambia de signo.

Figura 15. Área bajo la recta $y = 3 x + 4$ entre $x = 2$ y $x = 6$ .

Figura 16. Regla del trapecio con 4 intervalos para $f (x) = x^{2}$ .

Actividad resuelta

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $𝐟 (𝐱) = 𝟒 - 𝐱^{𝟐}$ y el eje X.

Los cortes con el eje X son $4 - x^{2} = 0 \to x = \pm 2$ ; en $[- 2, 2]$ , $f (x) \geq 0$ .

$A = \int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x = {[4 x - \frac{x^{3}}{3}]}_{- 2}^{2} = (8 - \frac{8}{3}) - (- 8 + \frac{8}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} u^{2}$

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🧩 Integrales definidas y cálculo de áreas

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → RUN·MAT, la instrucción ∫(f(x), a, b) (tecla OPTN → CALC → ∫dx) calcula numéricamente el valor de una integral definida entre dos límites, lo que permite comprobar el área calculada mediante el teorema fundamental del cálculo; en MENU → GRAPH, SHIFT+F5 (G-Solv) → ∫dx sombrea además la región correspondiente.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula las integrales definidas:

a) $\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x$

b) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

c) $\int_{0}^{π} s e n x d x$

d) $\int_{0}^{1} e^{x} d x$

Ver solución

a) [x³ + x]₀² = 10

b) [⅔ x^(3/2)]₁⁴ = 14/3

c) 2

d) e − 1

2. Halla el área de la región limitada por $y = x^{2} - 4$ , el eje X y las rectas $x = 0$ y $x = 2$ .

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Para 0 ≤ x ≤ 2, x² − 4 ≤ 0 ⇒ área = ∫₀² (4 − x²) dx = 16/3 ≈ 5,33

3. Halla el área total entre $y = x (x - 3)$ y el eje X en $[0, 4]$ .

Ver solución

Es negativa en (0, 3) y positiva en (3, 4): área = 9/2 + 11/6 = 19/3 ≈ 6,33

4. Sabiendo que $\int_{0}^{3} f (x) d x = 5$ y $\int_{0}^{5} f (x) d x = 8$ , calcula $\int_{3}^{5} f (x) d x$ y $\int_{0}^{3} [2 f (x) + 1] d x$ .

Ver solución

∫₃⁵ f = 8 − 5 = 3 ; ∫₀³ [2f + 1] = 2 · 5 + 3 = 13

5. Utiliza la calculadora para hallar $\int_{0}^{2} e^{- x^{2}}$ dx a 3 cifras decimales.

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≈ 0,882

6. Aproxima $\int_{0}^{4} x^{2} d x$ con la regla del trapecio usando 4 subintervalos y compara con el valor exacto.

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Trapecios (h = 1): 22 ; valor exacto 64/3 ≈ 21,33 ; error ≈ 0,67