MAE NS › Bloque 4 · Complejos, geometría y análisis › Geometría espacial

NS 3.12Vectores

Concepto de vector; vectores de posición; vectores de desplazamiento. Los vectores de la base $𝐢, 𝐣, 𝐤$ . Componentes de un vector. Enfoques algebraicos y geométricos: suma y resta, vector nulo, multiplicación por un escalar, vectores paralelos, módulo, vector unitario. Demostración de propiedades geométricas utilizando vectores.

Concepto de vector

Un vector es un segmento orientado que queda determinado por su módulo (longitud), su dirección y su sentido. Se representa mediante una flecha, o mediante sus componentes respecto a los vectores de la base $\vec{i} = (1, 0, 0)$ , $\vec{j} = (0, 1, 0)$ , $\vec{k} = (0, 0, 1)$ :

$\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = v_{1} \vec{i} + v_{2} \vec{j} + v_{3} \vec{k}$

Un vector de posición $\vec{O A} = \vec{a}$ tiene su origen en el origen de coordenadas $O$ y su extremo en un punto $A$ . Dados dos puntos $A$ y $B$ con vectores de posición $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , el vector de desplazamiento entre ellos es:

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}$

y la distancia entre $A$ y $B$ es igual al módulo de este vector: $d (A, B) = | \vec{A B} |$ .

Operaciones con vectores

Operación	Definición algebraica
Suma y resta	$\vec{u} \pm \vec{v} = (u_{1} \pm v_{1}, u_{2} \pm v_{2}, u_{3} \pm v_{3})$
Vector nulo	$\vec{0} = (0, 0, 0)$
Vector opuesto	$- \vec{v} = (- v_{1}, - v_{2}, - v_{3})$
Producto por escalar	$k \vec{v} = (k v_{1}, k v_{2}, k v_{3})$
Módulo	$\| \vec{v} \| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}$
Vector unitario	$\frac{\vec{v}}{\| \vec{v} \|}$ (módulo 1, misma dirección y sentido que $\vec{v}$ )

Geométricamente, la suma de vectores se obtiene con la regla del paralelogramo o colocando un vector a continuación del otro; el producto por un escalar $k$ estira o encoge el vector (y lo invierte si $k < 0$ ). Dos vectores no nulos $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son paralelos si, y solo si, $\vec{u} = k \vec{v}$ para algún $k \in ℝ$ .

Figura 2. Componentes de un vector en el espacio.

Actividad resuelta

1. Dados $\vec{u} = (2, - 1, 3)$ y $\vec{v} = (- 1, 4, 0)$ , calcula $𝟐 \vec{𝐮} - 𝟑 \vec{𝐯}$ y el módulo de $\vec{u}$ .

$2 \vec{u} - 3 \vec{v} = (4, - 2, 6) - (- 3, 12, 0) = (7, - 14, 6)$

$| \vec{u} | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{14}$

2. Demuestra, usando vectores, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad que él.

Sea el triángulo $A B C$ , y $M$ , $N$ los puntos medios de $A B$ y $A C$ respectivamente. Con vectores de posición $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ :

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \vec{n} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

$\vec{M N} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2} = \frac{1}{2} \vec{B C}$

Como $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ , ambos vectores son paralelos (uno es múltiplo escalar del otro) y, además, $| \vec{M N} | = \frac{1}{2} | \vec{B C} |$ , como se quería demostrar.

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Operaciones con vectores

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Calculadora CASIO fx-CG50

El menú OPTN → VECTOR permite definir vectores (VctA, VctB, VctC) introduciendo sus componentes, y luego operar con ellos: VctA+VctB, VctA-VctB o k×VctA para las operaciones básicas, y Abs(VctA) para calcular directamente su módulo.

🧩 Dependencia e independencia lineal de tres vectores

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Dados los puntos $A (1, 2, 3)$ y $B (4, - 1, 7)$ , halla el vector AB, su módulo y un vector unitario con su misma dirección y sentido.

Ver solución

AB = (3, −3, 4) ; |AB| = √34 ≈ 5,83 ; vector unitario = (3, −3, 4)/√34

2. Sean $u = (2, - 1, 3)$ y $v = (1, 4, - 2)$ . Calcula:

a) $u + v$

b) $3 u - 2 v$

c) |u|

Ver solución

a) (3, 3, 1)

b) (6, −3, 9) − (2, 8, −4) = (4, −11, 13)

c) √14 ≈ 3,74

3. Comprueba si los vectores $a = (2, - 4, 6)$ y $b = (- 1, 2, - 3)$ son paralelos. Halla k para que $(1, k, 2)$ sea paralelo a $(3, 6, 6)$ .

Ver solución

a = −2b, luego son paralelos. (3, 6, 6) = 3(1, 2, 2) ⇒ para que (1, k, 2) sea paralelo hace falta k = 2

4. Expresa el vector $(5, - 2, 4)$ usando los vectores de la base i, j, k.

Ver solución

5i − 2j + 4k

5. Halla las coordenadas del punto medio de $A (2, - 1, 5)$ y $B (6, 3, 1)$ y el punto C tal que B es el punto medio de AC.

Ver solución

Punto medio = (4, 1, 3). C = 2B − A = (10, 7, −3)

6. Los puntos $A (0, 0, 0)$ , $B (2, 1, 0)$ y $C (1, 3, 0)$ son tres vértices de un paralelogramo ABCD. Halla el cuarto vértice D (con AB y DC paralelos).

Ver solución

D = A + C − B = (−1, 2, 0). Comprobación: AB = (2, 1, 0) = DC