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NS 5.12Derivación implícita y razones de cambio relacionadas

Derivación implícita. Razones de cambio relacionadas (related rates).

Derivación implícita

Cuando una relación entre $x$ e $y$ no está despejada explícitamente en la forma $y = f (x)$ (por ejemplo, $x^{2} + y^{2} = 25$ ), se puede hallar $\frac{d y}{d x}$ mediante derivación implícita: se deriva cada término de la ecuación respecto a $x$ , tratando $y$ como función de $x$ (aplicando la regla de la cadena a los términos con $y$ , ya que $\frac{d}{d x} [y^{n}] = n y^{n - 1} \frac{d y}{d x}$ ), y finalmente se despeja $\frac{d y}{d x}$ .

Razones de cambio relacionadas

En un problema de razones de cambio relacionadas, dos o más magnitudes están relacionadas entre sí mediante una ecuación, y varían con el tiempo; derivando dicha ecuación respecto al tiempo $t$ (usando la regla de la cadena) se obtiene una relación entre sus razones de cambio ( $\frac{d x}{d t}$ , $\frac{d y}{d t}$ , etc.), que permite hallar una de ellas a partir de las demás.

Figura 12. Razones de cambio relacionadas (escalera) y derivación implícita (tangente a una circunferencia).

Actividad resuelta

1. Halla $\frac{𝐝 𝐲}{𝐝 𝐱}$ para la curva $𝐱^{𝟐} + 𝐲^{𝟐} = 𝟐𝟓$ en el punto (3,4).

$2 x + 2 y \frac{d y}{d x} = 0 \to \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

En el punto $(3, 4)$ : $\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{4}$ .

2. Una escalera de 5 m está apoyada en una pared vertical. Su base se aleja de la pared a razón de 0,5 m/s. Halla a qué velocidad desciende la parte superior de la escalera cuando la base está a 3 m de la pared.

Sea $x$ la distancia de la base a la pared, e $y$ la altura del extremo superior: $x^{2} + y^{2} = 25$ . Derivando respecto al tiempo:

$2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} = 0$

Cuando $x = 3$ , $y = \sqrt{25 - 9} = 4$ . Sustituyendo con $\frac{d x}{d t} = 0, 5$ :

$2 (3) (0, 5) + 2 (4) \frac{d y}{d t} = 0 \to 3 + 8 \frac{d y}{d t} = 0 \to \frac{d y}{d t} = - \frac{3}{8} = - 0, 375 m / s$

La parte superior desciende a razón de 0,375 m/s.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Halla $\frac{d y}{d x}$ para $x^{2} + y^{2} = 25$ y la pendiente de la tangente en el punto $(3, 4)$ .

Ver solución

dy/dx = −x/y ; en (3, 4): −3/4

2. Halla $\frac{d y}{d x}$ para $x^{2} + x y + y^{2} = 7$ .

Ver solución

dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y)

3. Halla la ecuación de la tangente a $x^{3} + y^{3} = 9$ en el punto $(1, 2)$ .

Ver solución

y′ = −x²/y² ; en (1, 2): −1/4 ⇒ y − 2 = −(x − 1)/4 ⇒ x + 4y = 9

4. El radio de un círculo aumenta a $2 \frac{c m}{s}$ . ¿A qué ritmo aumenta su área cuando $r = 5$ cm?

Ver solución

dA/dt = 2πr · dr/dt = 2π · 5 · 2 = 20π ≈ 62,8 cm²/s

5. Un globo esférico se infla a $100 \frac{{c m}^{3}}{s}$ . ¿A qué ritmo crece su radio cuando $r = 10$ cm?

Ver solución

dV/dt = 4πr² · dr/dt ⇒ dr/dt = 100/(400π) = 1/(4π) ≈ 0,0796 cm/s

6. Una escalera de 5 m está apoyada contra una pared. Su base se aleja de la pared a $0, 5 \frac{m}{s}$ . ¿Con qué rapidez desciende su extremo superior cuando la base está a 3 m de la pared?

Ver solución

x² + y² = 25 ; con x = 3, y = 4. 2x x′ + 2y y′ = 0 ⇒ y′ = −(3 · 0,5)/4 = −0,375 m/s: desciende 0,375 m/s