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NS 5.14Técnicas de integración: Sustitución

Integración mediante el método de sustitución (cambio de variable), incluida la adaptación de los límites de integración en una integral definida.

El método de sustitución

El método de sustitución (o cambio de variable) permite calcular integrales de la forma $\int f (g (x)) \cdot g' (x) d x$ , introduciendo una nueva variable $u = g (x)$ , de modo que $d u = g' (x) d x$ , con lo que la integral se transforma en $\int f (u) d u$ , generalmente más sencilla. Al terminar, se deshace el cambio, sustituyendo $u$ de nuevo por $g (x)$ .

En una integral definida, si se cambia la variable, los límites de integración también deben adaptarse a la nueva variable $u$ (evaluando $u = g (x)$ en los límites originales), de modo que no sea necesario deshacer el cambio al final.

Actividad resuelta

1. Calcula $\int 2 x \cdot c o s (x^{2}) d x$ mediante el cambio $𝐮 = 𝐱^{𝟐}$ .

Con $u = x^{2}$ , $d u = 2 x d x$ :

$\int 2 x cos (x^{2}) d x = \int c o s u d u = s e n u + c = s e n (x^{2}) + c$

2. Calcula $\int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$ adaptando los límites de integración.

Con $u = x^{2}$ , $d u = 2 x d x \to x d x = \frac{d u}{2}$ . Los límites cambian: si $x = 0$ , $u = 0$ ; si $x = 2$ , $u = 4$ .

$\int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x = \int_{0}^{4} \frac{1}{2} e^{u} d u = \frac{1}{2} [e^{u}]_{0}^{4} = \frac{1}{2} (e^{4} - 1) \approx 26, 80$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula con el cambio de variable indicado:

a) $\int 2 x {(x^{2} + 1)}^{3} d x (u = x^{2} + 1)$

b) $\int cos x \cdot {s e n}^{4} x d x (u = s e n x)$

c) ∫ x $e^{x^{2}}$ dx $(u = x^{2})$

Ver solución

a) (x² + 1)⁴/4 + C

b) sen⁵x/5 + C

c) ½ e^(x²) + C

2. Calcula $\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$ .

Ver solución

u = x² + 4: ½ ln (x² + 4) + C

3. Calcula $\int_{0}^{1} 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ adaptando los límites de integración.

Ver solución

u = x² + 1, límites 1 y 2: ∫₁² √u du = ⅔(2√2 − 1) ≈ 1,219

4. Calcula $\int tan x d x$ escribiendo $tan x = \frac{s e n x}{cos x}$ y usando $u = cos x$ .

Ver solución

∫ tan x dx = −∫ du/u = −ln |cos x| + C

5. Calcula $\int_{0}^{π / 2} s e n x cos x d x$ de dos formas distintas ( y $u = cos x$ ).

Ver solución

Con u = sen x: ∫₀¹ u du = 1/2. Con u = cos x: −∫₁⁰ u du = 1/2. Ambos dan 1/2