NS 2.13Teorema del factor y del resto

Teorema del factor y teorema del resto. Suma y producto de las raíces de ecuaciones polinómicas.

Teorema del resto

El teorema del resto afirma que, al dividir un polinomio $P\left(x\right)$ entre $(x-k)$, el resto de la división es igual a $P\left(k\right)$.

Teorema del factor

El teorema del factor (consecuencia directa del anterior) afirma que:

$$(x-k)esunfactordeP\left(x\right)\iff P\left(k\right)=0$$

es decir, $(x-k)$ divide exactamente a $P\left(x\right)$ si, y solo si, $k$ es una raíz de $P\left(x\right)=0$. Este teorema, combinado con la regla de Ruffini, permite factorizar polinomios probando los posibles divisores del término independiente.

Suma y producto de raíces

Para una ecuación polinómica, la suma y el producto de sus raíces pueden obtenerse directamente de sus coeficientes sin necesidad de resolverla. Para la ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, de raíces $x_1$ y $x_2$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}{x}_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Para la ecuación cúbica $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$, de raíces $x_1$, $x_2$, $x_3$:

$$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}{x}_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$$

Figura 30. Teorema del factor y del resto: $f\left(a\right)=0$ si y solo si $(x-a)$ es factor; en general, $f\left(a\right)$ es el resto de dividir entre $(x-a)$.