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NM 5.2Crecimiento y decrecimiento: La primera derivada

Interpretación gráfica del signo de la primera derivada: intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Valores de x para los que $𝐟' (𝐱) = 𝟎$ : máximos y mínimos relativos.

El signo de la derivada

El signo de $f' (x)$ en un intervalo indica si la función es creciente o decreciente en dicho intervalo:

$f' (x) > 0 e n u n i n t e r v a l o \Rightarrow f e s 𝐜 𝐫 𝐞 𝐜 𝐢 𝐞 𝐧 𝐭 𝐞 e n e s e i n t e r v a l o$

$f' (x) < 0 e n u n i n t e r v a l o \Rightarrow f e s 𝐝 𝐞 𝐜 𝐫 𝐞 𝐜 𝐢 𝐞 𝐧 𝐭 𝐞 e n e s e i n t e r v a l o$

Máximos y mínimos relativos

En un máximo o mínimo relativo de una función derivable, la recta tangente es horizontal, por lo que $f' (x) = 0$ . Para determinar de cuál de los dos se trata, se estudia el signo de $f' (x)$ a ambos lados de ese punto: si $f'$ pasa de positiva a negativa, hay un máximo relativo; si pasa de negativa a positiva, hay un mínimo relativo.

Figura 38. El signo de $f'$ determina dónde crece y decrece f.

Actividad resuelta

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de $𝐟 (𝐱) = 𝐱^{𝟑} - 𝟑 𝐱$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$

Los ceros de $f' (x)$ son $x = - 1$ y $x = 1$ , que dividen la recta en tres intervalos. Estudiando el signo de $f' (x)$ en cada uno: $f' (x) > 0$ en $(- \infty, - 1)$ , $f' (x) < 0$ en $(- 1, 1)$ , y $f' (x) > 0$ en $(1, + \infty)$ .

Por tanto, $f$ es creciente en $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ y decreciente en $(- 1, 1)$ ; tiene un máximo relativo en $x = - 1$ ( $f (- 1) = 2$ ) y un mínimo relativo en $x = 1$ ( $f (1) = - 2$ ).

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Monotonía y extremos

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → GRAPH, tras representar la función, SHIFT+F5 (G-Solv) → MAX o MIN localiza directamente las coordenadas de los máximos y mínimos relativos visibles en la ventana gráfica, lo que permite contrastar el resultado obtenido al estudiar el signo de f'(x).

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. A partir de la gráfica de una función dibujada por ti (con un máximo y un mínimo), señala los intervalos de crecimiento y decrecimiento y el signo de la derivada en cada uno.

Ver solución

La función crece donde f′ > 0 (pendiente positiva) y decrece donde f′ < 0; en el máximo y en el mínimo f′ = 0 y cambia de signo (de positiva a negativa en el máximo y de negativa a positiva en el mínimo)

2. Estudia la monotonía de $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ mediante el signo de $f' (x)$ .

Ver solución

f′(x) = 2x − 6 ⇒ negativa si x < 3 y positiva si x > 3. Decrece en (−∞, 3) y crece en (3, ∞)

3. Estudia la monotonía de $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

Ver solución

f′(x) = 3(x − 1)(x + 1). Crece en (−∞, −1) y en (1, ∞) ; decrece en (−1, 1)

4. Estudia la monotonía de $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 3$ .

Ver solución

f′(x) = −4x + 8 ⇒ positiva si x < 2. Crece en (−∞, 2) y decrece en (2, ∞)

5. Determina si $f (x) = x^{3} + x$ es creciente en todo ℝ. Razona con la derivada.

Ver solución

f′(x) = 3x² + 1 > 0 para todo x ⇒ f es estrictamente creciente en ℝ

6. Dada la tabla de signos de $f'$ : $(- \infty, - 2)$ : +; $(- 2, 1)$ : −; $(1, \infty)$ : +, describe cómo es f y dibuja un croquis.

Ver solución

f crece hasta x = −2 (máximo relativo), decrece entre −2 y 1 (mínimo relativo en x = 1) y vuelve a crecer a partir de x = 1. El croquis tiene forma de «N»