NM 2.7La función recíproca y la función racional

La función recíproca $𝐟\left(𝐱\right)\mathbf{=}\frac{\mathrm{𝟏}}{𝐱}\mathbf{,}𝐱\mathbf{\ne }\mathrm{𝟎}$: su gráfica y su propiedad de ser autoinversa (self-inverse). La función racional $𝐟\left(𝐱\right)\mathbf{=}\frac{𝐚𝐱\mathbf{+}𝐛}{𝐜𝐱\mathbf{+}𝐝}$ y sus asíntotas.

La función recíproca

La función $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$, de dominio $ℝ\mathbb{-}\mathbb{\{}0\}$, tiene por gráfica una hipérbola equilátera con dos ramas, situada en el primer y tercer cuadrante. Se aproxima al eje X (asíntota horizontal $y=0$) cuando $x\to \pm \infty$, y al eje Y (asíntota vertical $x=0$) cuando $x\to 0$. Es una función autoinversa (self-inverse): $f^{-1}\left(x\right)=f\left(x\right)$, ya que su gráfica es simétrica respecto a la recta $y=x$.

La función racional $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{cx+d}$

Su gráfica también es una hipérbola, obtenida a partir de la de $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ mediante transformaciones. Presenta:

$$𝐀𝐬\mathbf{í}𝐧𝐭𝐨𝐭𝐚𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐜𝐚𝐥\mathbf{:}x=-\frac{d}{c}𝐀𝐬\mathbf{í}𝐧𝐭𝐨𝐭𝐚𝐡𝐨𝐫𝐢𝐳𝐨𝐧𝐭𝐚𝐥\mathbf{:}y=\frac{a}{c}$$

(la asíntota vertical se halla anulando el denominador; la horizontal, a partir del cociente de los coeficientes de mayor grado, ya que para $x$ muy grande el $+b$ y el $+d$ dejan de influir apreciablemente en el cociente).

Figura 24. Variación inversa: $P=\frac{600}{V}$ (hipérbola).