MAE NS › Bloque 3 · Trigonometría y estadística › Trigonometría

NM 3.6Trigonometría algebraica

La identidad ${s e n}^{𝟐} 𝛉 + {𝐜𝐨𝐬}^{𝟐} 𝛉 = 𝟏$ . La identidad $𝐭 𝐚 𝐧 𝛉 = \frac{s e n 𝛉}{𝐜 𝐨 𝐬 𝛉}$ . Simplificación de expresiones trigonométricas.

La identidad fundamental

Como el punto $(cos θ, s e n θ)$ pertenece a la circunferencia unidad, sus coordenadas cumplen $x^{2} + y^{2} = 1$ , lo que da lugar a la identidad fundamental de la trigonometría:

${s e n}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$

A partir de ella, y de la definición de la tangente, se pueden despejar y relacionar las tres razones trigonométricas entre sí, y simplificar expresiones que las combinan.

Actividad resuelta

Simplifica la expresión $\frac{s e n 𝛉}{𝟏 - 𝐜 𝐨 𝐬 𝛉} - \frac{𝟏 - 𝐜 𝐨 𝐬 𝛉}{s e n 𝛉}$ .

Se pone en común denominador $s e n θ (1 - c o s θ)$ :

$\frac{{s e n}^{2} θ - {(1 - c o s θ)}^{2}}{s e n θ (1 - c o s θ)} = \frac{{s e n}^{2} θ - 1 + 2 cos θ - {cos}^{2} θ}{s e n θ (1 - c o s θ)}$

Sustituyendo ${s e n}^{2} θ = 1 - {cos}^{2} θ$ en el numerador:

$\frac{(1 - {cos}^{2} θ) - 1 + 2 cos θ - {cos}^{2} θ}{s e n θ (1 - c o s θ)} = \frac{2 cos θ - 2 {cos}^{2} θ}{s e n θ (1 - c o s θ)} = \frac{2 cos θ (1 - c o s θ)}{s e n θ (1 - c o s θ)} = \frac{2 cos θ}{s e n θ}$

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Sabiendo que $s e n θ = \frac{3}{5}$ y que θ es agudo, calcula cos θ y tan θ.

Ver solución

cos θ = 4/5 ; tan θ = 3/4

2. Simplifica:

a) ${s e n}^{2} θ + {cos}^{2} θ + {tan}^{2} θ$

b) $\frac{1 - {cos}^{2} θ}{s e n θ}$

c) $s e n θ \cdot cos \frac{θ}{1 - {s e n}^{2} θ}$

Ver solución

a) 1 + tan²θ = sec²θ

b) sen²θ/sen θ = sen θ

c) sen θ cos θ / cos²θ = tan θ

3. Demuestra las identidades:

a) $tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{1}{s e n θ cos θ}$

b) $(1 - cos θ) (1 + cos θ) = {s e n}^{2} θ$

Ver solución

a) sen θ/cos θ + cos θ/sen θ = (sen²θ + cos²θ)/(sen θ cos θ) = 1/(sen θ cos θ)

b) 1 − cos²θ = sen²θ

4. Sabiendo que $cos θ = - 0, 6$ con θ en el segundo cuadrante, halla sen θ y tan θ.

Ver solución

sen θ = √(1 − 0,36) = 0,8 (positivo en el 2.º cuadrante) ; tan θ = 0,8/(−0,6) = −4/3

5. Si $s e n θ = \frac{2}{3}$ , calcula sen 2θ y cos 2θ (con θ agudo).

Ver solución

cos θ = √5/3 ⇒ sen 2θ = 2 · (2/3)(√5/3) = 4√5/9 ≈ 0,994 ; cos 2θ = 1 − 2 · 4/9 = 1/9