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NM 5.9Cinemática: Desplazamiento, velocidad y aceleración

Aplicación de la derivación y la integración a problemas cinemáticos que implican desplazamiento, velocidad y aceleración. Distancia total recorrida.

Relación entre desplazamiento, velocidad y aceleración

Si $s (t)$ describe la posición de un objeto en el instante $t$ , entonces:

$v (t) = s' (t) a (t) = v' (t) = s ″ (t)$

es decir, la velocidad es la derivada de la posición, y la aceleración es la derivada de la velocidad. Recíprocamente, conocida $v (t)$ , la posición se recupera integrando: $s (t) = \int v (t) d t$ .

Distancia total recorrida

El desplazamiento en un intervalo $[t_{1}, t_{2}]$ es $\int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$ , pero si la velocidad cambia de signo (el objeto retrocede en algún tramo), este valor no coincide con la distancia total recorrida, que debe calcularse sumando el valor absoluto de la integral en cada tramo donde $v (t)$ mantiene el signo constante.

Figura 11. Desplazamiento, velocidad y aceleración (datos ilustrativos): cada gráfica es la derivada de la anterior.

Actividad resuelta

La velocidad de una partícula viene dada por $𝐯 (𝐭) = 𝐭^{𝟐} - 𝟒 𝐭$ (m/s), para $𝟎 \leq 𝐭 \leq 𝟓$ . Calcula el desplazamiento y la distancia total recorrida en ese intervalo.

$v (t) = 0 \to t (t - 4) = 0 \to t = 0 o t = 4$

Como $v (t) < 0$ en $(0, 4)$ y $v (t) > 0$ en $(4, 5)$ , el desplazamiento y la distancia total no coinciden.

$D e s p l a z a m i e n t o = \int_{0}^{5} (t^{2} - 4 t) d t = {[\frac{t^{3}}{3} - 2 t^{2}]}_{0}^{5} = \frac{125}{3} - 50 = - \frac{25}{3} m$

$D i s t a n c i a = | \int_{0}^{4} (t^{2} - 4 t) d t | + | \int_{4}^{5} (t^{2} - 4 t) d t | = | - \frac{32}{3} | + | \frac{7}{3} | = \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = 13 m$

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → RUN·MAT, la instrucción d/dx(s(t), a) calcula la velocidad instantánea v(a) derivando la función de posición en un instante concreto, y ∫(v(t), t1, t2) (OPTN → CALC → ∫dx) calcula el desplazamiento entre dos instantes integrando la función de velocidad.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. La posición de una partícula (en metros) es $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ , con t en segundos. Halla $v (t)$ y $a (t)$ , los instantes en que se detiene y su posición en esos instantes.

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v = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3) ; a = 6t − 12. Se detiene en t = 1 s (s = 4 m) y en t = 3 s (s = 0 m)

2. Una partícula tiene velocidad $v (t) = 4 - 2 t$ . Halla su aceleración, cuándo cambia de sentido y su desplazamiento entre $t = 0$ y $t = 5$ .

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a = −2 m/s². v = 0 en t = 2 s, donde cambia de sentido. Desplazamiento = ∫₀⁵ (4 − 2t) dt = [4t − t²]₀⁵ = −5 m

3. A partir de $a (t) = 6 t$ , $v (0) = 2$ y $s (0) = 1$ , halla $v (t)$ y $s (t)$ integrando.

Ver solución

v(t) = 3t² + 2 ; s(t) = t³ + 2t + 1

4. Para $v (t) = t^{2} - 4 t$ , indica en qué intervalos la velocidad es negativa y calcula la rapidez en $t = 1$ .

Ver solución

v < 0 para 0 < t < 4. Rapidez en t = 1: |v(1)| = 3 m/s

5. Con la calculadora, halla la distancia total recorrida entre $t = 0$ y $t = 5$ por una partícula con $v (t) = t^{2} - 4 t$ . Explica la diferencia entre distancia y desplazamiento.

Ver solución

Distancia = ∫₀⁵ |t² − 4t| dt = 32/3 + 7/3 = 13 m. Desplazamiento = ∫₀⁵ (t² − 4t) dt = −25/3 ≈ −8,33 m. La distancia suma los recorridos sin importar el sentido; el desplazamiento los compensa