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NS 2.12Funciones polinómicas

Funciones polinómicas y sus gráficas. Forma de la gráfica de una función polinómica según su grado y su coeficiente principal.

Funciones polinómicas de grado superior

Una función polinómica de grado $n$ tiene la forma:

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}, a_{n} \neq 0$

La forma general de su gráfica depende del grado $n$ y del signo del coeficiente principal $a_{n}$ :

Si $n$ es par, ambos extremos de la gráfica van en la misma dirección: hacia $+ \infty$ si $a_{n} > 0$ , o hacia $- \infty$ si $a_{n} < 0$ (como una parábola, pero potencialmente con más “giros”).
Si $n$ es impar, los extremos van en direcciones opuestas: de $- \infty$ a $+ \infty$ si $a_{n} > 0$ , o de $+ \infty$ a $- \infty$ si $a_{n} < 0$ .

Una función polinómica de grado $n$ tiene, como máximo, $n$ ceros reales y, como máximo, $n - 1$ cambios de sentido (máximos y mínimos relativos) en su gráfica.

Figura 29. Comportamiento en los extremos según el grado y el signo del coeficiente principal.

Actividad resuelta

Describe el comportamiento en los extremos de la gráfica de $𝐟 (𝐱) = - 𝐱^{𝟑} + 𝟒 𝐱$ y el número máximo de ceros y de puntos de inflexión de sentido que puede tener.

El grado es $n = 3$ (impar) y el coeficiente principal es $a_{3} = - 1 < 0$ : la gráfica va desde $+ \infty$ (cuando $x \to - \infty$ ) hasta $- \infty$ (cuando $x \to + \infty$ ). Al ser de grado 3, tiene como máximo 3 ceros reales y como máximo 2 cambios de sentido (un máximo y un mínimo relativos).

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → GRAPH se puede dibujar una función polinómica de cualquier grado (Y1=aXⁿ+...) y estudiar con SHIFT + F5 (G-Solv) el número de cortes con el eje X y de cambios de sentido (máximos y mínimos), comprobando visualmente el comportamiento en los extremos descrito por el grado y el coeficiente principal.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Indica el grado, el coeficiente principal y el comportamiento de la función cuando x tiende $a + \infty$ y $a - \infty$ en:

a) $f (x) = - 2 x^{4} + x - 1$

b) $g (x) = x^{5} - 3 x^{2}$

c) $h (x) = 4 - x^{3}$

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a) Grado 4, coeficiente −2: f → −∞ cuando x → ±∞

b) Grado 5, coeficiente 1: f → +∞ si x → +∞ y f → −∞ si x → −∞

c) Grado 3, coeficiente −1: f → −∞ si x → +∞ y f → +∞ si x → −∞

2. ¿Cuántos ceros reales y cuántos extremos locales puede tener, como máximo, un polinomio de grado 5? ¿Y de grado 4?

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Grado 5: hasta 5 ceros reales y 4 extremos locales. Grado 4: hasta 4 ceros reales y 3 extremos locales

3. Esboza $f (x) = x (x - 2) (x + 1)$ : ceros, signo en cada intervalo, corte con el eje Y y extremos locales (con la calculadora).

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Ceros: −1, 0, 2. Signo: − en (−∞, −1), + en (−1, 0), − en (0, 2), + en (2, ∞). Corte con Y: (0, 0). Máximo local ≈ (−0,55; 0,63) y mínimo local ≈ (1,22; −2,11)

4. Describe el comportamiento de $f (x) = {(x - 1)}^{2} {(x + 2)}^{3}$ en cada cero (multiplicidad) y esboza su gráfica.

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En x = 1 (multiplicidad 2) la gráfica toca el eje X y rebota. En x = −2 (multiplicidad 3) lo cruza aplanándose. Grado 5 con coeficiente positivo: f → −∞ si x → −∞ y f → +∞ si x → +∞

5. Halla el polinomio de grado 3 con ceros en $- 2$ , 1 y 4 cuya gráfica pasa por $(0, 16)$ .

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f(x) = a(x + 2)(x − 1)(x − 4) ; f(0) = 8a = 16 ⇒ a = 2 ⇒ f(x) = 2x³ − 6x² − 12x + 16

6. Con la calculadora, halla los extremos locales de $f (x) = x^{3} - 3 x$ y determina para qué valores de k la ecuación $x^{3} - 3 x = k$ tiene tres soluciones reales.

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Máximo local (−1, 2) y mínimo local (1, −2). Tiene tres soluciones reales si −2 < k < 2