NM 5.6Optimización de funciones

Resolución de problemas de optimización de valores máximos y mínimos, incluidos problemas contextualizados, utilizando la derivada.

Estrategia para problemas de optimización

Ante un problema de optimización, conviene seguir estos pasos: (1) expresar la magnitud que se quiere maximizar o minimizar como función de una sola variable (usando las relaciones o restricciones del problema para eliminar el resto de variables); (2) derivar esa función e igualar la derivada a 0 para hallar los puntos críticos; (3) comprobar, mediante el signo de la derivada (o de la segunda derivada), que se trata realmente de un máximo o de un mínimo; y (4) comprobar que la solución tiene sentido en el contexto del problema.

Figura 39. Extremos locales y absolutos en un intervalo cerrado.

Figura 40. Optimización: el rectángulo de mayor área con perímetro fijo es un cuadrado.

Se dispone de 40 m de valla para cercar un terreno rectangular. Halla las dimensiones que hacen máxima el área cercada.

Sean $x$ e $y$ los lados del rectángulo. La restricción es $2x+2y=40\to y=20-x$. El área a maximizar es:

$$A\left(x\right)=x\cdot y=x(20-x)=20x-x^2$$

$$A\prime \left(x\right)=20-2x=0\to x=10$$

Como $A″\left(x\right)=-2<0$, se trata de un máximo. Con $x=10$, se obtiene $y=20-10=10$: el rectángulo de área máxima es, de hecho, un cuadrado de lado 10 m, con área máxima $A\left(10\right)=100m^2$.