MAE NS › Bloque 3 · Trigonometría y estadística › Trigonometría

NS 3.9Razones trigonométricas inversas

Definición de las razones trigonométricas recíprocas $𝐬 𝐞 𝐜 𝛉, c o s e c 𝛉$ y $𝐜 𝐨 𝐭 𝛉$ . Relaciones fundamentales $𝟏 + {𝐭𝐚𝐧}^{𝟐} 𝛉 = {𝐬𝐞𝐜}^{𝟐} 𝛉$ y $𝟏 + {𝐜𝐨𝐭}^{𝟐} 𝛉 = {c o s e c}^{𝟐} 𝛉$ . Las funciones inversas arcsen x, arccos x, arctan x; su dominio, recorrido y gráfico.

Razones trigonométricas recíprocas

Además de seno, coseno y tangente, se definen sus razones recíprocas:

$sec θ = \frac{1}{cos θ} c o s e c θ = \frac{1}{s e n θ} cot θ = \frac{1}{tan θ} = \frac{cos θ}{s e n θ}$

Dividiendo la identidad fundamental ${cos}^{2} θ + {s e n}^{2} θ = 1$ entre ${cos}^{2} θ$ , y entre ${s e n}^{2} θ$ , se obtienen dos nuevas relaciones fundamentales:

$1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ 1 + {cot}^{2} θ = {c o s e c}^{2} θ$

Figura 49. Gráficas de arcsen x, arccos x y arctan x, con su dominio y su recorrido.

Actividad resuelta

Sabiendo que $tan θ = 2$ , halla el valor de $sec θ$ .

${sec}^{2} θ = 1 + {tan}^{2} θ = 1 + 2^{2} = 5 \to s e c θ = \pm \sqrt{5}$

Las funciones trigonométricas inversas

Como seno, coseno y tangente no son inyectivas en todo su dominio, para definir sus funciones inversas se restringe previamente el dominio a un intervalo en el que sí lo sean:

Función	Dominio	Recorrido
$f (x) = a r c s i n x$	$[- 1, 1]$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$f (x) = a r c c o s x$	$[- 1, 1]$	$[0, π]$
$f (x) = a r c t a n x$	$ℝ$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Las gráficas de $arcsin x$ , $arccos x$ y $arctan x$ se obtienen, como cualquier función inversa, reflejando la gráfica de la función original (restringida a ese dominio) respecto a la recta $y = x$ .

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

Las funciones trigonométricas inversas se calculan con SHIFT + sin, SHIFT + cos y SHIFT + tan (que muestran sin⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹ en pantalla). Conviene fijar antes en SET UP el modo de ángulo (Deg o Rad) adecuado, ya que la calculadora devuelve el resultado siempre dentro del recorrido de la función inversa correspondiente.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula sec θ, cosec θ y cot θ para $θ = 30^{\circ}$ , y comprueba que $1 + {tan}^{2} θ = {sec}^{2} θ$ .

Ver solución

sec 30° = 2√3/3 ; cosec 30° = 2 ; cot 30° = √3. Comprobación: 1 + 1/3 = 4/3 = (2/√3)² ✓

2. Sabiendo que $tan θ = 2$ y que θ es agudo, halla sec θ, sen θ y cos θ.

Ver solución

sec θ = √(1 + 4) = √5 ; cos θ = √5/5 ; sen θ = 2√5/5

3. Calcula sin calculadora, dando el resultado en radianes:

a) $a r c s e n \frac{1}{2}$

b) $arccos (- \frac{1}{2})$

c) arctan(1)

d) $a r c s e n (- 1)$

Ver solución

a) π/6

b) 2π/3

c) π/4

d) −π/2

4. Indica el dominio y el recorrido de arcsen x, arccos x y arctan x. ¿Por qué se restringe el dominio de seno, coseno y tangente para definirlas?

Ver solución

arcsen: dominio [−1, 1], recorrido [−π/2, π/2]. arccos: dominio [−1, 1], recorrido [0, π]. arctan: dominio ℝ, recorrido (−π/2, π/2). Se restringe el dominio de sen, cos y tan para que sean inyectivas y puedan tener función inversa

5. Calcula con la calculadora (modo Rad, 3 cifras decimales) arcsen(0,3), arccos(0,3) y arctan(5), y comprueba que $a r c s e n (0, 3) + arccos (0, 3) = \frac{π}{2}$ .

Ver solución

arcsen 0,3 ≈ 0,305 ; arccos 0,3 ≈ 1,266 ; arctan 5 ≈ 1,373. Suma de las dos primeras: 1,571 = π/2 ✓