NS 3.14Ecuaciones de la recta

Ecuación vectorial de una recta en dos y en tres dimensiones: $𝐫\mathbf{=}𝐚\mathbf{+}𝛌𝐛$. Formas paramétrica y cartesiana. El ángulo que forman dos rectas. Aplicación a problemas sencillos de cinemática.

Ecuación vectorial de la recta

Una recta queda determinada por un punto $A$ (de vector de posición $\overrightarrow{a}$) por el que pasa, y un vector director $\overrightarrow{b}$ que indica su dirección. Cualquier punto $P$ (de vector de posición $\overrightarrow{r}$) de la recta se puede expresar como:

$$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b},\lambda \mathbb{\in }ℝ$$

Esta es la ecuación vectorial de la recta. A partir de ella se obtienen otras formas equivalentes de expresarla, tomando $A=(x_0,y_0,z_0)$ y $\overrightarrow{b}=(l,m,n)$:

$$𝐅𝐨𝐫𝐦𝐚𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦\mathbf{é}𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚\mathbf{:}\{\begin{array}{c}\hfill x=x_0+\lambda l\hfill \\ \hfill y=y_0+\lambda m\hfill \\ \hfill z=z_0+\lambda n\hfill \end{array}𝐅𝐨𝐫𝐦𝐚𝐜𝐚𝐫𝐭𝐞𝐬𝐢𝐚𝐧𝐚\mathbf{\left(}𝐨𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚\mathbf{\right)}\mathbf{:}\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$

Ángulo entre dos rectas

El ángulo que forman dos rectas coincide con el ángulo que forman sus vectores directores (o su suplementario, si resultase obtuso, ya que se toma siempre el menor ángulo), y se calcula con el producto escalar visto en 3.13:

$$cos\theta =\frac{|\overrightarrow{b_1}\cdot \overrightarrow{b_2}|}{\left|\overrightarrow{b_1}\right|\left|\overrightarrow{b_2}\right|}$$

Aplicación a la cinemática

En un contexto de movimiento rectilíneo, la ecuación vectorial $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}$ admite una interpretación física directa: $\overrightarrow{a}$ es la posición inicial, $\lambda$ representa el tiempo transcurrido y $\overrightarrow{b}$ es el vector velocidad, de manera que $\left|\overrightarrow{b}\right|$ es la rapidez del móvil.

Figura 5. Recta en el espacio: punto A, vector director d y punto genérico $X=A+\lambda d$.