MAE NS › Bloque 4 · Complejos, geometría y análisis › Geometría espacial

NS 3.13Ángulos entre vectores

Definición de producto escalar de dos vectores. El ángulo que forman dos vectores. Vectores perpendiculares; vectores paralelos. Propiedades del producto escalar.

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores $\vec{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ y $\vec{w} = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ es el número real:

$\vec{v} \cdot \vec{w} = v_{1} w_{1} + v_{2} w_{2} + v_{3} w_{3}$

y cumple las siguientes propiedades:

$\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{v} \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} (k \vec{v}) \cdot \vec{w} = k (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{v} \cdot \vec{v} = {| \vec{v} |}^{2}$

El ángulo entre dos vectores

El producto escalar también se puede expresar en función del ángulo $θ$ que forman los dos vectores:

$\vec{v} \cdot \vec{w} = | \vec{v} | | \vec{w} | cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{| \vec{v} | | \vec{w} |}$

De esta relación se deducen dos consecuencias muy utilizadas: para vectores no nulos, $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$ equivale a que $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares; y si $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son paralelos, se cumple $| \vec{v} \cdot \vec{w} | = | \vec{v} | | \vec{w} |$ .

Figura 3. Ángulo entre dos vectores y proyección de uno sobre otro.

Actividad resuelta

1. Halla el ángulo que forman los vectores $\vec{v} = (1, 2, - 2)$ y $\vec{w} = (3, - 1, 1)$ .

$\vec{v} \cdot \vec{w} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (- 1) + (- 2) \cdot 1 = 3 - 2 - 2 = - 1$

$| \vec{v} | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 | \vec{w} | = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$

$cos θ = \frac{- 1}{3 \sqrt{11}} = - 0, 1005 \to θ = 95, 8^{\circ}$

2. Determina el valor de k para que los vectores $\vec{u} = (k, 3, - 1)$ y $\vec{v} = (2, - 1, 4)$ sean perpendiculares.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \to 2 k - 3 - 4 = 0 \to 2 k = 7 \to k = \frac{7}{2}$

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

Definidos dos vectores en el menú OPTN → VECTOR, la opción Dot(VctA, VctB) calcula directamente su producto escalar, y la opción Angle(VctA, VctB) da el ángulo que forman (en el modo Deg o Rad fijado en SET UP), sin necesidad de aplicar la fórmula a mano.

🧩 Ángulo entre dos rectas

Abrir en GeoGebra ↗

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula el producto escalar de $u = (1, 2, - 3)$ y $v = (4, - 1, 2)$ .

Ver solución

4 − 2 − 6 = −4

2. Halla el ángulo que forman $u = (1, 1, 0)$ y $v = (1, 0, 1)$ .

Ver solución

u · v = 1 ; |u||v| = 2 ⇒ cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60°

3. Halla k para que los vectores $(2, k, 1)$ y $(3, - 4, 2)$ sean perpendiculares.

Ver solución

6 − 4k + 2 = 0 ⇒ k = 2

4. Dados $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 1, 0)$ y $C (2, 3, 1)$ , calcula el ángulo ABC del triángulo.

Ver solución

BA = (−2, −1, 2), BC = (−1, 2, 1) ⇒ BA · BC = 2 ; |BA| = 3, |BC| = √6 ⇒ cos B = 2/(3√6) ⇒ B ≈ 74,2°

5. Calcula la proyección del vector $v = (3, 1, 2)$ sobre $u = (1, 2, 2)$ .

Ver solución

Proyección escalar = u · v/|u| = 9/3 = 3 ; proyección vectorial = (9/9)u = (1, 2, 2)

6. Demuestra que si |u $| = 3 |$ , |v $| = 4 |$ y $u \cdot v = 6$ , el ángulo entre u y v mide 60°. Calcula también $| u + v |$ .

Ver solución

cos θ = 6/(3 · 4) = 1/2 ⇒ θ = 60°. |u + v|² = 9 + 16 + 2 · 6 = 37 ⇒ |u + v| = √37 ≈ 6,08