MAE NS › Bloque 4 · Complejos, geometría y análisis › Integrales I

NM 5.7Integración como proceso inverso de la derivación

La integral indefinida como familia de primitivas. Integrales indefinidas de $𝐱^{𝐧}$ , $s e n 𝐱$ , $𝐜 𝐨 𝐬 𝐱$ y $𝐞^{𝐱}$ . Uso de condiciones iniciales para hallar la constante de integración c.

La integral indefinida

La integración es el proceso inverso de la derivación: si $F' (x) = f (x)$ , se dice que $F$ es una primitiva de $f$ . Como la derivada de una constante es 0, si $F$ es una primitiva de $f$ , también lo es $F (x) + c$ para cualquier constante $c$ ; por ello, la integral indefinida de $f$ se escribe:

$\int f (x) d x = F (x) + c$

Integrales inmediatas

Función $f (x)$	Integral $\int f (x) d x$
$x^{n}$ ( $n \neq - 1$ )	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c$
$s e n x$	$- c o s x + c$
$cos x$	$s e n x + c$
$e^{x}$	$e^{x} + c$
$\frac{1}{x}$	$ln \| x \| + c$

Cálculo de la constante c

Cuando se conoce un punto concreto de la primitiva (una condición inicial), es posible determinar el valor exacto de $c$ , obteniendo así una única primitiva en lugar de toda la familia.

Figura 14. Familia de funciones con la misma derivada: se diferencian en la constante c.

Actividad resuelta

Halla la función $𝐟 (𝐱)$ sabiendo que $𝐟' (𝐱) = 𝟑 𝐱^{𝟐} - 𝟒 𝐱 + 𝟏$ y que $𝐟 (𝟏) = 𝟓$ .

$f (x) = \int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = x^{3} - 2 x^{2} + x + c$

$f (1) = 5 \to 1 - 2 + 1 + c = 5 \to c = 5$

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 5$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula las integrales indefinidas:

a) $\int x^{4} d x$

b) $\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x$

c) $\int 5 d x$

d) $\int x^{- 3} d x$

e) $\int {(x + 2)}^{2} d x$

Ver solución

a) x⁵/5 + C

b) x³ − x² + x + C

c) 5x + C

d) −1/(2x²) + C

e) (x + 2)³/3 + C

2. Halla $f (x)$ si $f' (x) = 6 x^{2} - 4 x$ y $f (1) = 3$ .

Ver solución

f(x) = 2x³ − 2x² + C ; f(1) = C = 3 ⇒ f(x) = 2x³ − 2x² + 3

3. Calcula las integrales definidas:

a) $\int_{0}^{3} x^{2} d x$

b) $\int_{1}^{4} (2 x + 1) d x$

c) $\int_{- 1}^{2} (x^{2} - 2) d x$

Ver solución

a) 9

b) [x² + x]₁⁴ = 20 − 2 = 18

c) [x³/3 − 2x]₋₁² = −4/3 − 5/3 = −3

4. Calcula el área limitada por $f (x) = x^{2} + 1$ , el eje x y las rectas $x = 0$ y $x = 2$ . Haz un croquis.

Ver solución

Área = ∫₀² (x² + 1) dx = 8/3 + 2 = 14/3 ≈ 4,67 u²

5. Calcula el área limitada por la parábola $f (x) = 4 - x^{2}$ y el eje x (puntos de corte en $x = \pm 2$ ).

Ver solución

Área = ∫₋₂² (4 − x²) dx = 32/3 ≈ 10,67 u²

6. Halla con la calculadora el área entre $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x^{2}$ en el intervalo donde se cortan.

Ver solución

Se cortan en x = −1 y x = 2. Área = ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = 9/2 = 4,5 u²

7. La velocidad de un móvil es $v (t) = 3 t^{2} \frac{m}{s}$ . Calcula el desplazamiento entre $t = 1$ y $t = 4$ s.

Ver solución

Desplazamiento = ∫₁⁴ 3t² dt = [t³]₁⁴ = 63 m