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NS 1.15Teoría de la demostración

Demostración por inducción matemática.

Demostración por contradicción.

Uso de un contraejemplo para mostrar que una afirmación dada no siempre es cierta.

Demostración por inducción matemática

La inducción matemática es un método de demostración especialmente útil para probar afirmaciones que dependen de un número natural $n$ y que se cumplen para todo $n$ a partir de un valor inicial. Consta de tres etapas:

– Caso base: se comprueba que la afirmación es cierta para el primer valor de $n$ (habitualmente $n = 1$ ).

– Hipótesis de inducción: se supone que la afirmación es cierta para un valor genérico $n = k$ .

– Paso inductivo: partiendo de la hipótesis de inducción, se demuestra que la afirmación también es cierta para $n = k + 1$ .

Si se cumplen estas tres etapas, por el principio de inducción matemática, la afirmación queda demostrada para todo número natural $n$ a partir del caso base. Este método está presente en muchos otros bloques de la asignatura: los números complejos, la derivación, la suma de progresiones o la divisibilidad, entre otros.

Figura 14. La inducción matemática funciona como una fila de fichas de dominó: caso base y paso inductivo.

Figura 15. Demostración visual: la suma de los n primeros impares es $n^{2}$ .

Actividad resuelta

Demuestra por inducción que, para todo $𝐧 \in ℤ^{+}$ :

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

Caso base ( $n = 1$ ): el lado izquierdo tiene un único término, $1$ , y el lado derecho es $1^{2} = 1$ . Se cumple la igualdad.

Hipótesis de inducción: se supone cierto para $n = k$ , es decir: $1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1) = k^{2}$ .

Paso inductivo: se comprueba para $n = k + 1$ , sumando a ambos lados de la hipótesis el siguiente término impar, $2 k + 1$ :

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 k - 1) + (2 k + 1) = k^{2} + (2 k + 1) = {(k + 1)}^{2}$

Es decir, la afirmación también se cumple para $n = k + 1$ . Por el principio de inducción matemática, queda demostrado que $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ para todo $n \in ℤ^{+}$ .

Demostración por contradicción

En una demostración por contradicción (o reducción al absurdo) se parte de la negación de lo que se quiere demostrar y, mediante un razonamiento lógico válido, se llega a una contradicción (un resultado falso o absurdo). Como esa contradicción no puede ser cierta, la suposición inicial debe ser falsa, con lo que la afirmación original queda demostrada.

Actividad resuelta

Demuestra que $\sqrt{𝟑}$ es un número irracional.

Se supone, por contradicción, que $\sqrt{3}$ es racional. Entonces puede escribirse como una fracción irreducible $\frac{p}{q}$ , con $p, q \in ℤ$ , $q \neq 0$ y $mcd (p, q) = 1$ :

$\sqrt{3} = \frac{p}{q} \to 3 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \to p^{2} = 3 q^{2}$

Como $p^{2}$ es múltiplo de 3, entonces $p$ también debe ser múltiplo de 3 (pues 3 es primo), es decir, $p = 3 m$ para algún $m \in ℤ$ . Sustituyendo:

${(3 m)}^{2} = 3 q^{2} \to 9 m^{2} = 3 q^{2} \to q^{2} = 3 m^{2}$

Por el mismo razonamiento, $q$ también debe ser múltiplo de 3. Pero entonces $p$ y $q$ tendrían el factor común 3, lo que contradice que $\frac{p}{q}$ fuese una fracción irreducible. Se llega a una contradicción, por lo que la suposición inicial es falsa: $\sqrt{3}$ es irracional.

Contraejemplos

Para demostrar que una afirmación no siempre es cierta, no es necesario un razonamiento general: basta con encontrar un solo caso, llamado contraejemplo, que la incumpla. Es importante, además, justificar por qué ese caso concreto contradice la afirmación.

Actividad resuelta

Muestra que la siguiente afirmación no siempre es cierta: “para todo $𝐧 \in ℕ$ , el número $𝐧^{𝟐} + 𝐧 + 𝟒𝟏$ es primo”.

Basta con encontrar un valor de $n$ para el que $n^{2} + n + 41$ no sea primo. Probando con $n = 40$ :

$40^{2} + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41^{2}$

Como $1681 = 41^{2}$ no es un número primo (tiene como divisor a 41 además de 1 y de sí mismo), $n = 40$ es un contraejemplo que muestra que la afirmación dada no es cierta para todo $n \in ℕ$ , aunque sí lo sea para muchos valores anteriores.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Demostración directa. Prueba que:

a) la suma de dos números pares es un número par

b) el producto de dos números impares es un número impar

Ver solución

a) 2m + 2n = 2(m + n), par

b) (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1, impar

2. Busca un contraejemplo para refutar:

a) « $n^{2} + n + 41$ es primo para todo n natural»

b) «si $a^{2} = b^{2}$ , entonces $a = b$ »

Ver solución

a) n = 41: 41² + 41 + 41 = 41 · 43 = 1763, que no es primo

b) a = 2, b = −2: a² = b² = 4 pero a ≠ b

3. Demuestra por reducción al absurdo que si $n^{2}$ es par, entonces n es par.

Ver solución

Supongamos n² par y n impar, n = 2k + 1. Entonces n² = 4k² + 4k + 1 es impar: contradicción. Luego n es par

4. Demuestra por inducción que $1 + 2 + 3 + \dots + n = n \frac{n + 1}{2}$ para todo $n \geq 1$ .

Ver solución

Base: n = 1 ⇒ 1 = 1 · 2/2 ✓. Hipótesis: 1 + … + k = k(k + 1)/2. Paso: 1 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 ✓

5. Demuestra por inducción que $3^{n} - 1$ es divisible entre 2 para todo $n \geq 1$ .

Ver solución

Base: 3 − 1 = 2 ✓. Hipótesis: 3ᵏ − 1 = 2m. Paso: 3ᵏ⁺¹ − 1 = 3(2m + 1) − 1 = 6m + 2 = 2(3m + 1) ✓

6. Demuestra por inducción que $2^{n} > n$ para todo $n \geq 1$ .

Ver solución

Base: 2¹ = 2 > 1 ✓. Hipótesis: 2ᵏ > k. Paso: 2ᵏ⁺¹ = 2 · 2ᵏ > 2k ≥ k + 1 (pues k ≥ 1) ✓