NS 3.17Ecuaciones del plano

Ecuaciones vectoriales de un plano: $𝐫\mathbf{=}𝐚\mathbf{+}𝛌𝐛\mathbf{+}𝛍𝐜$, donde $𝐛$ y $𝐜$ son vectores no paralelos contenidos en el plano; $𝐫\mathbf{\cdot }𝐧\mathbf{=}𝐚\mathbf{\cdot }𝐧$. Ecuación cartesiana de un plano $𝐚𝐱\mathbf{+}𝐛𝐲\mathbf{+}𝐜𝐳\mathbf{=}𝐝$.

Ecuación vectorial y ecuación normal

Un plano $\pi$ queda determinado por un punto $A$ (vector de posición $\overrightarrow{a}$) y dos vectores no paralelos $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ contenidos en él (llamados vectores directores del plano). La ecuación vectorial del plano es:

$$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}+\mu \overrightarrow{c},\lambda ,\mu \mathbb{\in }ℝ$$

Un vector normal $\overrightarrow{n}$ al plano (perpendicular a él) se puede obtener mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$. Como todo punto $P$ del plano cumple que $\overrightarrow{AP}$ es perpendicular a $\overrightarrow{n}$, se obtiene la ecuación normal del plano:

$$\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}$$

Ecuación cartesiana

Desarrollando la ecuación normal con $\overrightarrow{n}=(a,b,c)$ y $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ se llega a la ecuación cartesiana (o general) del plano:

$$ax+by+cz=d$$

donde $(a,b,c)$ son las componentes de un vector normal al plano, y $d=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}$.

Figura 7. Plano determinado por un punto A, dos vectores directores u y v y el vector normal $n=u\times v$.