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NM 3.5Razones trigonométricas

Valores exactos de las razones trigonométricas de 0°, 30°, 45°, 60°, 90° y sus múltiplos. Aplicación a problemas de la vida real, incluidos ángulos de elevación y de depresión.

Valores exactos

A partir de triángulos notables (el triángulo equilátero y el triángulo rectángulo isósceles) se obtienen los valores exactos de las razones trigonométricas de los ángulos más habituales:

$θ$	0°	30°	45°	60°	90°
$s e n θ$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$cos θ$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tan θ$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	—

Ángulos de elevación y de depresión

El ángulo de elevación es el que forma la línea de visión de un observador con la horizontal, al mirar hacia un objeto situado por encima de él; el ángulo de depresión es el análogo al mirar hacia un objeto situado por debajo. Ambos ángulos se resuelven habitualmente planteando un triángulo rectángulo y aplicando las razones trigonométricas básicas.

Figura 47. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Figura 48. Ángulos de elevación y de depresión (alternos internos, por tanto iguales).

Actividad resuelta

Desde un punto situado a 50 m de la base de una torre, el ángulo de elevación de su parte más alta es de 35°. Calcula la altura de la torre.

$tan 35^{\circ} = \frac{h}{50} \Rightarrow h = 50 \cdot t a n 35^{\circ} \approx 35, 0 m$

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Circunferencia goniométrica

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🧩 Reducción de las razones al primer cuadrante

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula sin calculadora el valor exacto de:

a) sen 30°

b) cos 45°

c) tan 60°

d) $s e n 60^{\circ} \cdot cos 30^{\circ}$

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a) 1/2

b) √2/2

c) √3

d) (√3/2)(√3/2) = 3/4

2. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo de 40° mide 7 cm. Calcula la hipotenusa y el otro cateto.

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Hipotenusa = 7/sen 40° ≈ 10,89 cm ; otro cateto = 7/tan 40° ≈ 8,34 cm

3. Desde un punto del suelo situado a 30 m de la base de un edificio se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 52°. Calcula la altura del edificio.

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h = 30 · tan 52° ≈ 38,4 m

4. Desde lo alto de un acantilado de 80 m se ve una barca con un ángulo de depresión de 25°. ¿A qué distancia horizontal está la barca de la base del acantilado?

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d = 80/tan 25° ≈ 171,6 m

5. Una escalera de 5 m se apoya contra una pared formando 70° con el suelo. ¿A qué altura llega y a qué distancia de la pared está su base?

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Altura = 5 · sen 70° ≈ 4,70 m ; distancia de la base = 5 · cos 70° ≈ 1,71 m