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NM 1.7Propiedades de las potencias y logaritmos

Leyes de los logaritmos. Cambio de base. Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas.

Leyes de los logaritmos

Para $x, y > 0$ y cualquier base $a$ válida:

${log}_{a} (x y) = {log}_{a} x + {log}_{a} y {log}_{a} (\frac{x}{y}) = {log}_{a} x - {log}_{a} y {log}_{a} (x^{n}) = n {log}_{a} x$

Cambio de base

Para calcular un logaritmo en una base $a$ distinta de 10 o de $e$ , se utiliza la fórmula de cambio de base:

${log}_{a} x = \frac{log x}{log a} = \frac{ln x}{ln a}$

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Una ecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente; suele resolverse tomando logaritmos en ambos miembros. Una ecuación logarítmica tiene la incógnita dentro de un logaritmo; se resuelve aplicando las propiedades de los logaritmos para reducir la ecuación a una sola expresión logarítmica, y comprobando después que las soluciones obtenidas pertenecen al dominio de los logaritmos originales.

Figura 3. Resolución gráfica de $3^{x} = 20$ : la solución es $x = {log}_{3} 20 \approx 2, 73$ .

Actividad resuelta

1. Resuelve $𝟑^{𝐱} = 𝟐𝟎$ .

$x = {log}_{3} 20 = \frac{ln 20}{ln 3} \approx 2, 73$

2. Resuelve $𝐥 𝐨 𝐠 𝐱 + 𝐥 𝐨 𝐠 (𝐱 - 𝟑) = 𝟏$ .

$log [x (x - 3)] = 1 \Rightarrow x (x - 3) = 10 \Rightarrow x^{2} - 3 x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5 o x = - 2$

Como $x = - 2$ no pertenece al dominio (haría negativo el argumento del logaritmo), la única solución válida es $x = 5$ .

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Simplifica aplicando las propiedades de las potencias (deja exponentes positivos):

a) $(x^{3} y^{2}) (x^{- 1} y^{4})$

b) $\frac{{(2 a^{2} b)}^{3}}{4 {a b}^{2}}$

c) ${(x^{\frac{1}{2}})}^{4} \cdot x^{- 3}$

d) $(9 x^{4})$ ^ $\frac{1}{2}$

Ver solución

a) x²y⁶

b) 8a⁶b³ / (4ab²) = 2a⁵b

c) x² · x⁻³ = x⁻¹ = 1/x

d) 3x²

2. Expresa como un solo logaritmo:

a) $log 4 + log 25$

b) $ln 12 - ln 4$

c) $2 {log}_{3} 6 - {log}_{3} 4$

d) $3 ln 2 + ln 5$

Ver solución

a) log 100 = 2

b) ln 3

c) log₃ (36/4) = log₃ 9 = 2

d) ln 40

3. Desarrolla cada expresión usando las propiedades de los logaritmos:

a) $log (a^{2} \frac{b}{c})$

b) $ln \frac{x^{3}}{y}$

c) ${log}_{2} (8 \frac{x}{y^{2}})$

Ver solución

a) 2 log a + log b − log c

b) 3 ln x − ln y

c) 3 + log₂ x − 2 log₂ y

4. Utiliza el cambio de base para calcular ${log}_{3} 20$ con 3 cifras decimales. Comprueba el resultado con $log \frac{20}{log 3}$ .

Ver solución

log₃ 20 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,727, igual que log 20 / log 3

5. Si ${log}_{2} a = p$ y ${log}_{2} b = q$ , expresa en función de p y q:

a) ${log}_{2} (a^{3} b)$

b) ${log}_{2} \frac{a}{b^{2}}$

c) ${log}_{2}$ (8ab)

Ver solución

a) 3p + q

b) p − 2q

c) 3 + p + q

6. Resuelve las ecuaciones:

a) ${log}_{2} (x + 1) + {log}_{2} (x - 1) = 3$

b) $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ (sustitución $t = 2^{x}$ )

c) $2^{x + 1} = 3^{x}$ (da x como cociente de logaritmos)

Ver solución

a) (x + 1)(x − 1) = 2³ ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3 (x = −3 no vale, pues x − 1 > 0)

b) t² − 5t + 4 = 0 ⇒ t = 1 o t = 4 ⇒ x = 0 o x = 2

c) (x + 1) ln 2 = x ln 3 ⇒ x = ln 2 / (ln 3 − ln 2) ≈ 1,71