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NM 2.3Representación gráfica de funciones

La gráfica de una función: elaboración de un esbozo a partir de información dada o de un contexto, incluido el paso de una gráfica de la pantalla al papel. Uso de la tecnología para representar funciones, incluidas sumas y diferencias de funciones.

La gráfica de una función

La gráfica de una función $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x, f (x))$ del plano, para cada $x$ del dominio. Para esbozar la gráfica de una función a partir de un enunciado o contexto (sin necesidad de la expresión algebraica exacta), es útil identificar: los valores en los que la función vale 0, si la función crece o decrece en cada tramo, si hay valores máximos o mínimos, y el comportamiento de la función en los extremos del dominio.

Sumas y diferencias de funciones

Dadas dos funciones $f$ y $g$ , la función suma $(f + g) (x)$ y la función diferencia $(f - g) (x)$ se definen como:

$(f + g) (x) = f (x) + g (x) (f - g) (x) = f (x) - g (x)$

y su gráfica, cuando se traza con ayuda de la tecnología, puede obtenerse sumando o restando gráficamente, para cada $x$ , las alturas de las gráficas de $f$ y de $g$ .

Figura 21. Función definida a trozos: llenado, estado estacionario y vaciado de un depósito.

Actividad resuelta

Un depósito se llena a razón constante durante los 4 primeros minutos, permanece lleno durante 2 minutos, y después se vacía a razón constante durante los siguientes 3 minutos hasta quedar vacío. Esboza la gráfica del volumen de agua en función del tiempo.

La gráfica consta de tres tramos: un segmento creciente desde $(0, 0)$ hasta $(4, V_{m á x})$ ; un segmento horizontal (constante) desde $(4, V_{m á x})$ hasta $(6, V_{m á x})$ ; y un segmento decreciente desde $(6, V_{m á x})$ hasta $(9, 0)$ , siendo $V_{m á x}$ el volumen máximo del depósito.

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Expresión analítica, tabla y gráfica de una función

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🧩 Funciones definidas a trozos

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🧩 Funciones radicales

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Completa una tabla de valores para x de $- 3$ a 3 y representa $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ .

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x: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ⇒ f: 14, 7, 2, −1, −2, −1, 2. Vértice (1, −2) ; corte con y: −1 ; cortes con x: 1 ± √2 ≈ −0,41 y 2,41

2. Representa $f (x) = 2 x - 3$ y $g (x) = - x + 3$ en los mismos ejes y localiza su punto de intersección.

Ver solución

2x − 3 = −x + 3 ⇒ x = 2, y = 1 ⇒ (2, 1)

3. Con la calculadora (o GeoGebra) dibuja $f (x) = x^{3} - 3 x$ y copia aquí su gráfica, marcando cortes con los ejes y extremos.

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Cortes con x: x = 0 y x = ±√3 ≈ ±1,73 ; corte con y: 0 ; máximo relativo (−1, 2) ; mínimo relativo (1, −2)

4. Elige la ventana de visualización adecuada para ver los puntos de corte y el vértice de $f (x) = x^{2} - 12 x + 20$ . Anota Xmín, Xmáx, Ymín y Ymáx.

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f(x) = (x − 2)(x − 10), vértice (6, −16). Ventana: Xmín = −2, Xmáx = 14, Ymín = −20, Ymáx = 30

5. Haz un croquis de $f (x) = \frac{1}{x}$ para $x \neq 0$ : indica las asíntotas y el comportamiento para x grande positivo y negativo.

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Asíntotas: x = 0 e y = 0. Si x → +∞, f → 0⁺ ; si x → −∞, f → 0⁻ ; si x → 0⁺, f → +∞ ; si x → 0⁻, f → −∞

6. Representa a mano $f (x) = 2^{x}$ para x de $- 2$ a 4 y describe su comportamiento cuando x → $- \infty$ .

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Valores: 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16 (x de −2 a 4). Cuando x → −∞, f(x) → 0 (asíntota horizontal y = 0)