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NS 5.15Técnicas de integración: Por partes

Integración por partes, incluida su aplicación repetida.

El método de integración por partes

La integración por partes se deduce de la regla del producto de derivadas, y permite calcular integrales de un producto de dos funciones de tipos distintos (por ejemplo, un polinomio por una exponencial, o un polinomio por un logaritmo):

$\int u d v = u v - \int v d u$

Para aplicarla, se elige qué parte del integrando será $u$ (normalmente la que se simplifica al derivar, como un polinomio) y cuál será $d v$ (la que se puede integrar directamente). En algunos casos, es necesario aplicar el método de forma repetida hasta obtener una integral inmediata.

Figura 17. Interpretación geométrica de la integración por partes.

Actividad resuelta

1. Calcula $\int x e^{x} d x$ .

Con $u = x$ ( $d u = d x$ ) y $d v = e^{x} d x$ ( $v = e^{x}$ ):

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + c$

2. Calcula $\int x^{2} e^{x} d x$ aplicando la integración por partes dos veces.

Primera aplicación, con $u = x^{2}$ y $d v = e^{x} d x$ :

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - \int 2 x e^{x} d x$

La integral restante, $\int 2 x e^{x} d x$ , se calcula igual que en la actividad anterior: $2 x e^{x} - 2 e^{x}$ . Por tanto:

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + c$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula utilizando integración por partes:

a) ∫ x $e^{x} d x$

b) ∫ x cos x dx

c) $\int ln x d x$

Ver solución

a) eˣ(x − 1) + C

b) x sen x + cos x + C

c) x ln x − x + C

2. Calcula $\int x^{2} e^{x} d x$ aplicando dos veces la integración por partes.

Ver solución

eˣ(x² − 2x + 2) + C

3. Calcula la integral definida ∫₀¹ x $e^{2 x}$ dx.

Ver solución

[x e^(2x)/2 − e^(2x)/4]₀¹ = (e² + 1)/4 ≈ 2,097

4. Calcula $\int e^{x} s e n x d x$ aplicando dos veces la integración por partes y despejando la integral.

Ver solución

I = eˣ sen x − eˣ cos x − I ⇒ I = ½ eˣ (sen x − cos x) + C

5. Calcula ∫ x ln x dx y verifica el resultado derivando.

Ver solución

(x²/2) ln x − x²/4 + C. Al derivar: x ln x + x/2 − x/2 = x ln x ✓