NS 1.14Raíces y potencias de un número complejo

Raíces complejas conjugadas de ecuaciones cuadráticas y polinómicas con coeficientes reales.

Teorema de De Moivre y su ampliación al caso de exponentes racionales. Potencias y raíces de números complejos.

Raíces complejas conjugadas

Cuando un polinomio tiene todos sus coeficientes reales, sus raíces complejas aparecen siempre en pares conjugados: si $z=a+bi$ es raíz, también lo es $\bar{z}=a-bi$. Esto se debe a que, al resolver una ecuación de segundo grado $a{x}^2+bx+c=0$ mediante la fórmula general, cuando el discriminante $b^2-4ac$ es negativo, las dos soluciones son:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i$$

es decir, comparten la misma parte real y sus partes imaginarias son opuestas.

Teorema de De Moivre

El teorema de De Moivre permite elevar a potencias enteras un número complejo escrito en forma polar de manera muy sencilla:

$${\left[r(cos\theta +i\mathrm{\text{sen}}\theta )\right]}^n=r^n(cosn\theta +i\mathrm{\text{sen}}n\theta ),n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

Demostración por inducción (caso $𝐧\mathbf{\in }{\mathbb{Z}}^{\mathbf{+}}$):

Base: Para $n=1$ la igualdad es trivialmente cierta: $r(cos\theta +i\mathrm{\text{sen}}\theta )=r^1(cos(1\cdot \theta )+i\mathrm{\text{sen}}(1\cdot \theta ))$.

Hipótesis de inducción: Se supone cierto para $n=k$: ${\left[r(cos\theta +i\mathrm{\text{sen}}\theta )\right]}^k=r^k(cosk\theta +i\mathrm{\text{sen}}k\theta )$.

Paso inductivo: Se comprueba para $n=k+1$, multiplicando ambos lados por $r(cos\theta +i\mathrm{\text{sen}}\theta )$ y usando las fórmulas de suma de ángulos:

$$r^k(cosk\theta +i\mathrm{\text{sen}}k\theta )\cdot r(cos\theta +i\mathrm{\text{sen}}\theta )=r^{k+1}[(cosk\theta cos\theta -\mathrm{\text{sen}}k\theta \mathrm{\text{sen}}\theta )+i(\mathrm{\text{sen}}k\theta cos\theta +cosk\theta \mathrm{\text{sen}}\theta )]$$

$$=r^{k+1}[cos(k+1)\theta +i\mathrm{\text{sen}}(k+1)\theta ]$$

Como la propiedad se cumple para $n=1$ y, suponiéndola cierta para $n=k$, se cumple para $n=k+1$, por el principio de inducción matemática queda demostrada para todo $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Se puede comprobar que la fórmula también es válida para $n\mathbb{\in }ℝ$.

Potencias y raíces de un número complejo

El teorema de De Moivre, junto con la forma de Euler, permite calcular de forma directa las potencias de un número complejo:

$$z^n={\left(r{e}^{i\theta }\right)}^n=r^n{e}^{in\theta }$$

Del mismo modo, ampliando el teorema de De Moivre a exponentes racionales $\frac{1}{n}$, las raíces n-ésimas de un número complejo $z=r\mathrm{\text{cis}}\theta$ son los $n$ números complejos:

$$z_k=\sqrt[n]{r}\mathrm{\text{cis}}\left(\frac{\theta +2k\pi }{n}\right),k=0,1,2,\dots ,n-1$$

Estas $n$ raíces tienen todas el mismo módulo, $\sqrt[n]{r}$, y sus argumentos están igualmente espaciados $\frac{2\pi }{n}$ radianes, por lo que, representadas en el plano complejo, forman los vértices de un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $\sqrt[n]{r}$.

Figura 1. Las raíces n-ésimas de un número complejo son los vértices de un polígono regular inscrito en una circunferencia.