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NS 3.10Fórmulas trigonométricas

Fórmulas de la suma y la diferencia de dos ángulos. Fórmula del ángulo doble para la tangente. Deducción de las fórmulas del seno y el coseno del ángulo doble a partir de las fórmulas de suma y diferencia de dos ángulos.

Fórmulas de suma y diferencia de ángulos

$s e n (A \pm B) = s e n A cos B \pm c o s A s e n B$

$cos (A \pm B) = c o s A cos B \mp s e n A s e n B$

$tan (A \pm B) = \frac{tan A \pm t a n B}{1 \mp t a n A tan B}$

Deducción de las fórmulas del ángulo doble

Haciendo $B = A$ en las fórmulas anteriores se obtienen directamente las fórmulas del ángulo doble ya utilizadas en el apartado 3.6:

$s e n (2 A) = s e n (A + A) = s e n A cos A + c o s A s e n A = 2 s e n A cos A$

$cos (2 A) = c o s (A + A) = c o s A cos A - s e n A s e n A = {cos}^{2} A - {s e n}^{2} A$

$tan (2 A) = t a n (A + A) = \frac{tan A + t a n A}{1 - t a n A tan A} = \frac{2 tan A}{1 - {tan}^{2} A}$

Actividad resuelta

Sabiendo que $s e n A = \frac{3}{5}$ (A agudo) y $cos B = \frac{5}{13}$ (B agudo), calcula sen(A+B).

$cos A = \frac{4}{5} s e n B = \frac{12}{13}$

$s e n (A + B) = s e n A cos B + c o s A s e n B = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Sabiendo que $s e n A = \frac{3}{5}$ y $cos B = \frac{5}{13}$ , con A y B agudos, calcula:

a) $s e n (A - B)$

b) $cos (A + B)$

c) $tan (A + B)$

Ver solución

a) Con cos A = 4/5 y sen B = 12/13: sen(A − B) = (3/5)(5/13) − (4/5)(12/13) = −33/65

b) cos(A + B) = (4/5)(5/13) − (3/5)(12/13) = −16/65

c) sen(A + B) = 63/65 ⇒ tan(A + B) = (63/65)/(−16/65) = −63/16

2. Calcula el valor exacto de sen 75° escribiendo $75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}$ .

Ver solución

sen 75° = sen 45° cos 30° + cos 45° sen 30° = (√6 + √2)/4

3. Deduce $cos 2 A = 2 {cos}^{2} A - 1$ a partir de $cos (A + A) = cos A cos A - s e n A s e n A$ .

Ver solución

cos 2A = cos²A − sen²A = cos²A − (1 − cos²A) = 2cos²A − 1

4. Si $s e n A = \frac{4}{5}$ con A obtuso, calcula sen 2A, cos 2A y tan 2A.

Ver solución

cos A = −3/5 (A obtuso). sen 2A = 2 · (4/5)(−3/5) = −24/25 ; cos 2A = 9/25 − 16/25 = −7/25 ; tan 2A = 24/7

5. Demuestra que $\frac{s e n 2 x}{1 + cos 2 x} = tan x$ .

Ver solución

sen 2x/(1 + cos 2x) = 2 sen x cos x/(2cos²x) = tan x