MAE NS › Bloque 3 · Trigonometría y estadística › Estadística básica

NM 4.3Medidas de tendencia central

Medidas de tendencia central: media, mediana y moda. Estimación de la media a partir de datos agrupados. Clase modal.

Media, mediana y moda

La media ( $\overline{x}$ ) es el promedio aritmético de los datos:

$\overline{x} = \frac{\sum_{i}^{} f_{i} x_{i}}{N}, N = \sum_{i}^{} f_{i}$

La mediana ( $M e$ ) es el valor que ocupa la posición central de los datos ordenados. La moda ( $M o$ ) es el valor que se presenta con mayor frecuencia.

Estimación a partir de datos agrupados

Cuando los datos están agrupados en intervalos, no se conoce su valor exacto, por lo que se toma la marca de clase (el punto medio de cada intervalo) como representante de todos los datos de esa clase, y se estima la media con la fórmula anterior usando las marcas de clase como $x_{i}$ .

Clase modal

En datos agrupados, la clase modal es el intervalo con mayor frecuencia (o, si las clases tienen distinta amplitud, mayor densidad de frecuencia).

Figura 55. Diagrama de caja con vallas y valor atípico.

Actividad resuelta

Estima la media de las edades de un grupo de 50 personas a partir de la siguiente tabla, e indica la clase modal.

Intervalo	Marca de clase $x_{i}$	Frecuencia $f_{i}$	$f_{i} x_{i}$
$[0, 20)$	10	12	120
$[20, 40)$	30	20	600
$[40, 60)$	50	14	700
$[60, 80)$	70	4	280

$\overline{x} = \frac{120 + 600 + 700 + 280}{50} = \frac{1700}{50} = 34 a ñ o s$

La clase modal es $[20, 40)$ , por ser la de mayor frecuencia (20 personas).

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → STAT, tras introducir los datos (valores en List 1, frecuencias en List 2) y marcar la columna de frecuencias en SET UP, la opción CALC → 1-VAR muestra directamente la media (x̄) y, desplazando la pantalla, la mediana (Med) de los datos introducidos.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula la media, la mediana y la moda de: 3, 5, 5, 6, 8, 9, 12.

Ver solución

Media = 48/7 ≈ 6,86 ; mediana = 6 ; moda = 5

2. Calcula la desviación típica de los datos 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (a mano y con la calculadora).

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Media = 5 ; Σ(x − 5)² = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32 ⇒ σ = √(32/8) = 2

3. A partir de la tabla (x: 1, 2, 3, 4, 5 con frecuencias f: 3, 5, 8, 4, 2) halla la media, la mediana, la moda y la desviación típica.

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n = 22 ; media = 63/22 ≈ 2,86 ; mediana = 3 ; moda = 3 ; σ ≈ 1,14

4. Estima la media de datos agrupados usando las marcas de clase: [0, 10): 4; [10, 20): 9; [20, 30): 12; [30, 40): 5.

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n = 30 ; media ≈ (5 · 4 + 15 · 9 + 25 · 12 + 35 · 5)/30 = 630/30 = 21

5. Halla el rango, los cuartiles y el RIQ de: 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 18, 21.

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Rango = 21 − 6 = 15 ; mediana = 12 ; Q₁ = (8 + 9)/2 = 8,5 ; Q₃ = (15 + 18)/2 = 16,5 ; RIQ = 8

6. Dos grupos tienen la misma media 7 pero desviaciones típicas 0,8 y 2,5. Compara su dispersión con tus palabras.

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El grupo con σ = 0,8 está muy concentrado alrededor de 7 (datos homogéneos); el de σ = 2,5 está mucho más disperso, con valores más alejados de la media

7. Se suma 5 a todos los datos de una lista y luego se multiplica por 2. ¿Cómo cambian la media y la desviación típica? Compruébalo con 1, 2, 3.

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La media pasa a ser 2(media + 5) y la desviación típica se multiplica por 2 (sumar 5 no la altera). Con 1, 2, 3: media 2 y σ ≈ 0,816 ; con 12, 14, 16: media 14 = 2(2 + 5) y σ ≈ 1,633 = 2 · 0,816

8. Un dato atípico de 100 se añade a 10, 12, 13, 15, 15. Calcula la media y la mediana antes y después. ¿Cuál medida es más resistente?

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Antes: media 13, mediana 13. Después (con 100): media 27,5, mediana 14. La mediana es más resistente a los valores atípicos