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NS 5.13Optimización avanzada

Resolución de problemas de optimización más complejos, incluidos aquellos con restricciones, utilizando la primera y la segunda derivada para justificar la naturaleza del extremo.

Justificación con la segunda derivada

En problemas de optimización, además de localizar el punto crítico (donde la derivada se anula), conviene justificar si se trata de un máximo o un mínimo mediante el criterio de la segunda derivada: si $f ″ (x_{0}) > 0$ en el punto crítico $x_{0}$ , se trata de un mínimo relativo; si $f ″ (x_{0}) < 0$ , de un máximo relativo. Este método resulta especialmente útil cuando no es sencillo estudiar el signo de $f' (x)$ a ambos lados del punto crítico.

Figura 13. Optimización: caja sin tapa a partir de un cartón cuadrado; el volumen es máximo para $x = 2$ .

Actividad resuelta

Se quiere fabricar una lata cilíndrica de volumen 500 cm³ utilizando la menor cantidad posible de metal. Halla el radio y la altura que minimizan la superficie total.

Con radio $r$ y altura $h$ : $V = π r^{2} h = 500 \to h = \frac{500}{π r^{2}}$ . La superficie total (dos tapas + lateral) es:

$S (r) = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r^{2} + 2 π r \cdot \frac{500}{π r^{2}} = 2 π r^{2} + \frac{1000}{r}$

$S' (r) = 4 π r - \frac{1000}{r^{2}} = 0 \to 4 π r^{3} = 1000 \to r = \sqrt[3]{\frac{1000}{4 π}} \approx 4, 30 c m$

Como $S ″ (r) = 4 π + \frac{2000}{r^{3}} > 0$ para cualquier $r > 0$ , se confirma que es un mínimo. La altura correspondiente es $h = \frac{500}{π {(4, 30)}^{2}} \approx 8, 60$ cm.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Se recorta un cuadrado de lado x en cada esquina de un cartón cuadrado de 12 cm de lado para hacer una caja sin tapa. Halla x para que el volumen sea máximo y calcula dicho volumen.

Ver solución

V = x(12 − 2x)² ; V′ = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 ⇒ x = 2 cm ; V = 128 cm³

2. Una lata cilíndrica debe tener volumen $500 {c m}^{3}$ . Halla el radio y la altura que minimizan el área total de material.

Ver solución

A = 2πr² + 1000/r ; A′ = 0 ⇒ r = (250/π)^(1/3) ≈ 4,30 cm ; h = 500/(πr²) = 2r ≈ 8,60 cm

3. Halla el punto de la curva $y^{2} = x$ más próximo al punto $(3, 0)$ .

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d² = (x − 3)² + x ; derivada: 2(x − 3) + 1 = 0 ⇒ x = 5/2 ; puntos (5/2, ±√(5/2)) ≈ (2,5; ±1,58), a distancia ≈ 1,66

4. El ingreso por vender x unidades es $I (x) = x (100 - 2 x)$ . Halla el número de unidades que maximiza el ingreso y justifica que es un máximo.

Ver solución

I(x) = 100x − 2x² ; I′ = 100 − 4x = 0 ⇒ x = 25 ; I″ = −4 < 0 ⇒ máximo ; I(25) = 1250

5. Con 100 m de valla se quiere cercar un corral rectangular junto a un muro (el muro hace de cuarto lado). Halla las dimensiones de mayor área.

Ver solución

2x + y = 100 ⇒ A = x(100 − 2x) ; A′ = 0 ⇒ x = 25 m (perpendicular al muro), y = 50 m (paralelo) ; A = 1250 m²