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NM 4.8Variables aleatorias discretas y distribución binomial

Concepto de variable aleatoria discreta y su función de probabilidad. Valor esperado de una variable aleatoria discreta. Distribución binomial: su media y su varianza.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta $X$ asocia un número a cada resultado de un experimento aleatorio, tomando un conjunto finito o numerable de valores. Su función de probabilidad asigna a cada valor $x_{i}$ la probabilidad $P (X = x_{i})$ , y debe cumplir que $\sum_{i}^{} P (X = x_{i}) = 1$ . El valor esperado (media) de $X$ es:

$E (X) = \sum_{i}^{} x_{i} \cdot P (X = x_{i})$

La distribución binomial

La distribución binomial modela el número de “éxitos” en $n$ pruebas independientes de un experimento con solo dos resultados posibles (éxito/fracaso), donde la probabilidad de éxito, $p$ , es constante en cada prueba. Se escribe $X \sim B (n, p)$ , y su función de probabilidad es:

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$

con media y varianza:

$E (X) = n p V a r (X) = n p (1 - p)$

Figura 24. Distribución binomial B(10; 0,7) y distribución del número de caras en 3 lanzamientos.

Actividad resuelta

1. La variable aleatoria X representa el número de caras al lanzar 3 monedas. Halla su función de probabilidad y su valor esperado.

$P (X = 0) = \frac{1}{8} P (X = 1) = \frac{3}{8} P (X = 2) = \frac{3}{8} P (X = 3) = \frac{1}{8}$

$E (X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = 1, 5$

2. La probabilidad de que un tirador acierte en la diana es 0,7. Si realiza 10 lanzamientos independientes, calcula la probabilidad de que acierte exactamente 8 veces, y la media y desviación típica del número de aciertos.

$X \sim B (10; 0, 7) P (X = 8) = (\binom{10}{8}) {(0, 7)}^{8} {(0, 3)}^{2} \approx 45 \cdot 0, 0576 \cdot 0, 09 \approx 0, 2335$

$E (X) = 10 \cdot 0, 7 = 7 V a r (X) = 10 \cdot 0, 7 \cdot 0, 3 = 2, 1 \to σ = \sqrt{2, 1} \approx 1, 449$

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Distribución binomial

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → STAT → DIST → BINOMIAL, la opción Bpd calcula directamente P(X=k) para una variable X~B(n,p) introduciendo k, n y p, mientras que Bcd calcula la probabilidad acumulada P(X≤k), sin necesidad de aplicar la fórmula del número combinatorio a mano.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. La variable X toma los valores 1, 2, 3, 4 con probabilidades 0,1; 0,3; k; 0,2. Halla k y comprueba que es una distribución válida.

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k = 1 − (0,1 + 0,3 + 0,2) = 0,4. Es válida: todas las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1

2. Con la distribución anterior calcula la esperanza $E (X)$ y $P (X \geq 3)$ .

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E(X) = 0,1 + 0,6 + 1,2 + 0,8 = 2,7 ; P(X ≥ 3) = 0,4 + 0,2 = 0,6

3. Se lanza un dado. Si sale 6 ganas 5 €, si sale 1 pierdes 2 €, y en otro caso no ocurre nada. Calcula la ganancia esperada.

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E = 5 · 1/6 + (−2) · 1/6 + 0 · 4/6 = 0,5 €

4. Sea X ∼ B(10; 0,3). Calcula con la calculadora $P (X = 3)$ , $P (X \leq 2)$ y $P (X \geq 4)$ .

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P(X = 3) ≈ 0,2668 ; P(X ≤ 2) ≈ 0,3828 ; P(X ≥ 4) = 1 − P(X ≤ 3) ≈ 0,3504

5. Un tirador acierta el 70 % de sus disparos. En 8 disparos, calcula la probabilidad de acertar exactamente 6 y de acertar al menos 7.

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X ∼ B(8; 0,7): P(X = 6) ≈ 0,2965 ; P(X ≥ 7) = P(7) + P(8) ≈ 0,2553

6. Para X ∼ B(20; 0,25) calcula la media $μ = n p$ y la desviación típica $σ = \sqrt{n p q}$ .

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μ = 20 · 0,25 = 5 ; σ = √(20 · 0,25 · 0,75) = √3,75 ≈ 1,94

7. Un examen tipo test tiene 10 preguntas con 4 opciones. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar 5 o más? ¿Cuántos aciertos se esperan?

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X ∼ B(10; 0,25): P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) ≈ 0,0781 ; aciertos esperados: 10 · 0,25 = 2,5

8. Razona si es binomial: «número de caras en 12 lanzamientos de una moneda» y «número de cartas rojas al sacar 5 cartas sin reemplazo de una baraja».

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La primera es binomial (12 ensayos independientes con p = 1/2). La segunda no: al extraer sin reemplazo los ensayos no son independientes y p cambia