MAE NS › Bloque 2 · Funciones y derivadas › Análisis de funciones

NM 2.5Funciones compuestas y función inversa

Función compuesta. Función identidad. Función inversa $𝐟^{- 𝟏}$ , incluida la restricción del dominio. Cálculo de la función inversa.

Función compuesta

Dadas dos funciones $f$ y $g$ , la función compuesta $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ se obtiene aplicando primero $f$ y, al resultado, la función $g$ . En general, $g \circ f \neq f \circ g$ . La función identidad, $I (x) = x$ , cumple $f \circ I = I \circ f = f$ para cualquier función $f$ .

Función inversa

La función inversa de $f$ , denotada $f^{- 1}$ , es la función que “deshace” lo que hace $f$ , de modo que:

$(f^{- 1} \circ f) (x) = x (f \circ f^{- 1}) (x) = x$

Para que $f^{- 1}$ exista como función, $f$ debe ser inyectiva (cada valor del recorrido debe provenir de un único valor del dominio); si no lo es, es necesario restringir el dominio de $f$ para poder definir su inversa. Gráficamente, la gráfica de $f^{- 1}$ es la reflexión de la gráfica de $f$ respecto a la recta $y = x$ .

Cálculo de la función inversa

Para hallar $f^{- 1}$ a partir de $y = f (x)$ : se intercambian $x$ e $y$ , y se despeja la nueva $y$ .

Figura 20. La gráfica de $f^{- 1}$ es la simétrica de la de f respecto de $y = x$ .

Actividad resuelta

1. Dadas $𝐟 (𝐱) = 𝟐 𝐱 + 𝟏$ y $𝐠 (𝐱) = 𝐱^{𝟐}$ , calcula $(𝐠 \circ 𝐟) (𝐱)$ y $(𝐟 \circ 𝐠) (𝐱)$ , y comprueba que no coinciden.

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (2 x + 1) = {(2 x + 1)}^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2}) = 2 x^{2} + 1$

Efectivamente, $(g \circ f) (x) \neq (f \circ g) (x)$ .

2. Halla la función inversa de $𝐟 (𝐱) = \frac{𝟐 𝐱 - 𝟏}{𝟑}$ y comprueba el resultado.

$y = \frac{2 x - 1}{3} \overset{i n t e r c a m b i o x \leftrightarrow y}{\to} x = \frac{2 y - 1}{3} \to 3 x = 2 y - 1 \to y = \frac{3 x + 1}{2}$

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x + 1}{2}$

Comprobación: $f^{- 1} (f (x)) = f^{- 1} (\frac{2 x - 1}{3}) = \frac{3 \cdot \frac{2 x - 1}{3} + 1}{2} = \frac{2 x - 1 + 1}{2} = \frac{2 x}{2} = x$ ✓

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Función inversa

Abrir en GeoGebra ↗

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Sean $f (x) = 2 x + 3$ y $g (x) = x^{2}$ . Calcula:

a) (f ∘ g)(x)

b) (g ∘ f)(x)

c) (f ∘ g)(2)

d) (g ∘ f) $(- 1)$

Ver solución

a) 2x² + 3

b) (2x + 3)²

c) 11

d) 1

2. Halla la función inversa $f^{- 1} (x)$ de:

a) $f (x) = 3 x - 6$

b) $f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

c) $f (x) = x^{3} + 1$

d) $f (x) = \sqrt{x - 1}$ (indica el dominio de $f^{- 1}$ )

Ver solución

a) (x + 6)/3

b) (2x + 1)/(x − 1)

c) ∛(x − 1)

d) f⁻¹(x) = x² + 1, con dominio x ≥ 0

3. Para $f (x) = 2 x - 4$ , halla $f^{- 1} (x)$ y comprueba que $f (f^{- 1} (x)) = x$ y que $f^{- 1} (f (x)) = x$ .

Ver solución

f⁻¹(x) = (x + 4)/2. f(f⁻¹(x)) = 2 · (x + 4)/2 − 4 = x ; f⁻¹(f(x)) = (2x − 4 + 4)/2 = x

4. Sean $f (x) = \sqrt{x}$ y $g (x) = x - 4$ . Halla (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x) e indica el dominio de cada composición.

Ver solución

(f ∘ g)(x) = √(x − 4), dominio x ≥ 4 ; (g ∘ f)(x) = √x − 4, dominio x ≥ 0

5. Sea $f (x) = ln x$ y $g (x) = e^{x}$ . Calcula (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x). ¿Qué observas?

Ver solución

(f ∘ g)(x) = ln eˣ = x (para todo x real) ; (g ∘ f)(x) = e^(ln x) = x (para x > 0). Ambas dan la identidad: f y g son inversas

6. Dibuja la gráfica de $f (x) = 2 x + 1$ , la de su inversa y la recta $y = x$ . Comprueba la simetría.

Ver solución

f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Las dos gráficas son simétricas respecto de la recta y = x; por ejemplo, (0, 1) ↔ (1, 0)