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NM 2.2Concepto de función: Dominio, recorrido y notación

Concepto de función, dominio, recorrido y representación mediante diagrama de flechas. La función como modelo matemático. Notación funcional $𝐟 (𝐱)$ ; valores de una función.

Concepto de función

Una función es una relación entre dos conjuntos, el dominio y el codominio, que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del codominio. Si $f$ es una función que asigna a $x$ el valor $y$ , se escribe $y = f (x)$ , y se dice que $y$ es la imagen de $x$ mediante $f$ .

El dominio, $D o m (f)$ , es el conjunto de todos los valores de $x$ para los que $f (x)$ está definida.
El recorrido (o rango), $R e c (f)$ , es el conjunto de todos los valores que realmente toma $f (x)$ .

Una función puede representarse mediante un diagrama de flechas (uniendo cada elemento del dominio con su imagen), mediante una tabla de valores, mediante una gráfica o mediante una expresión algebraica.

Las funciones como modelos matemáticos

Las funciones permiten describir matemáticamente situaciones reales (el coste de un pedido en función de las unidades, la altura de un objeto en función del tiempo, etc.), lo que permite predecir valores, estudiar tendencias y optimizar magnitudes.

Notación funcional y dominio de funciones algebraicas

Para hallar el dominio de una función definida por una expresión algebraica, se deben excluir los valores de $x$ que produzcan una operación no permitida: una división entre 0, o una raíz de índice par de un número negativo.

Figura 19. Diagrama de flechas: dominio y recorrido de una función.

Actividad resuelta

1. Dada $𝐟 (𝐱) = 𝟐 𝐱^{𝟐} - 𝟑 𝐱 + 𝟏$ , calcula $𝐟 (𝟑)$ , $𝐟 (- 𝟏)$ y $𝐟 (𝟎)$ .

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 3 (3) + 1 = 18 - 9 + 1 = 10$

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 3 (- 1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 f (0) = 1$

2. Halla el dominio de las funciones $𝐟 (𝐱) = \frac{𝐱 + 𝟏}{𝐱 - 𝟑}$ y $𝐠 (𝐱) = \sqrt{𝐱 - 𝟐}$ .

Para $f$ , se excluye el valor que anula el denominador: $x - 3 = 0 \to x = 3$ . Por tanto, $D o m (f) = ℝ - {3}$ .

Para $g$ , el radicando debe ser mayor o igual que 0: $x - 2 \geq 0 \to x \geq 2$ . Por tanto, $D o m (g) = [2, + \infty)$ .

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Dominio y recorrido de una función

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → TABLE se puede introducir una expresión Y1=f(x) y generar su tabla de valores (rango de X, paso) para explorar de forma numérica en qué valores está definida la función (dominio) y qué valores toma (recorrido), antes incluso de dibujar su gráfica.

🧩 Formas de expresar una función

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Indica si cada relación es una función y justifica:

a) { $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ }

b) { $(1, 2)$ , $(1, 3)$ , $(2, 5)$ }

c) $x^{2} + y^{2} = 25$

Ver solución

a) Sí: a cada x le corresponde una sola y

b) No: x = 1 tiene dos imágenes (2 y 3)

c) No: x = 0 da y = 5 e y = −5

2. Dada $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ , calcula $f (0)$ , $f (2)$ , $f (- 1)$ y $f (a + 1)$ .

Ver solución

f(0) = 1 ; f(2) = 12 − 4 + 1 = 9 ; f(−1) = 3 + 2 + 1 = 6 ; f(a + 1) = 3(a + 1)² − 2(a + 1) + 1 = 3a² + 4a + 2

3. Dada $f (x) = 2 x + 5$ , resuelve $f (x) = 11$ y halla el valor de x para el que $f (x) = - 3$ .

Ver solución

2x + 5 = 11 ⇒ x = 3 ; 2x + 5 = −3 ⇒ x = −4

4. Halla el dominio de cada función:

a) $f (x) = 3 x - 7$

b) $g (x) = \frac{1}{x - 4}$

c) $h (x) = \sqrt{x + 2}$

Ver solución

a) ℝ

b) x ≠ 4

c) x ≥ −2

5. Dada la gráfica de una función en el recuadro, indica dominio y recorrido. Dibuja primero una parábola abierta hacia arriba con vértice en $(2, - 1)$ para x entre $- 1$ y 5.

Ver solución

Para y = (x − 2)² − 1 con −1 ≤ x ≤ 5: dominio [−1, 5] ; recorrido [−1, 8] (f(−1) = f(5) = 8)

6. El coste de fabricar x unidades es $C (x) = 500 + 8 x$ (en €). Determina el dominio y el recorrido razonables, y calcula $C (40)$ interpretando el resultado.

Ver solución

Dominio: x ≥ 0 (unidades enteras) ; recorrido: C ≥ 500. C(40) = 500 + 320 = 820 €: es el coste de fabricar 40 unidades

7. Con la notación de función, escribe el área A de un cuadrado en función de su lado l, y la longitud L de una circunferencia en función de su radio r. Indica el dominio de cada una en este contexto.

Ver solución

A(l) = l², dominio l > 0 ; L(r) = 2πr, dominio r > 0