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NS 3.16Producto vectorial

La definición del producto vectorial de dos vectores. Propiedades del producto vectorial. Interpretación geométrica de $| \vec{v} \times \vec{w} |$ : área de un paralelogramo y de un triángulo.

Definición

El producto vectorial (o producto cruz) de $\vec{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ y $\vec{w} = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ es el vector:

$\vec{v} \times \vec{w} = ∣ \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix} ∣ = (v_{2} w_{3} - v_{3} w_{2}, v_{3} w_{1} - v_{1} w_{3}, v_{1} w_{2} - v_{2} w_{1})$

A diferencia del producto escalar, el resultado es otro vector: perpendicular tanto a $\vec{v}$ como a $\vec{w}$ , con sentido dado por la regla de la mano derecha (o del sacacorchos), y de módulo:

$| \vec{v} \times \vec{w} | = | \vec{v} | | \vec{w} | s e n θ$

Propiedades

$\vec{v} \times \vec{w} = - \vec{w} \times \vec{v} \vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w} (k \vec{v}) \times \vec{w} = k (\vec{v} \times \vec{w}) \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}$

Para vectores no nulos, $\vec{v} \times \vec{w} = \vec{0}$ equivale a decir que $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son paralelos.

Interpretación geométrica

Como $| \vec{v} \times \vec{w} | = | \vec{v} | | \vec{w} | s e n θ$ coincide con el área del paralelogramo que forman $\vec{v}$ y $\vec{w}$ como lados, se tiene:

$Á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o = | \vec{v} \times \vec{w} | Á r e a d e l t r i á n g u l o = \frac{1}{2} | \vec{v} \times \vec{w} |$

Figura 4. El producto vectorial $u \times v$ es perpendicular a u y a v; su módulo es el área del paralelogramo.

Actividad resuelta

1. Calcula $\vec{u} \times \vec{v}$ siendo $\vec{u} = (1, - 2, 3)$ y $\vec{v} = (0, 1, - 1)$ .

$\vec{u} \times \vec{v} = ((- 2) (- 1) - 3 \cdot 1, 3 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 1 - (- 2) \cdot 0) = (2 - 3, 0 + 1, 1 - 0) = (- 1, 1, 1)$

2. Calcula el área del triángulo de vértices $𝐀 = (𝟏, 𝟎, 𝟎)$ , $𝐁 = (𝟎, 𝟐, 𝟎)$ y $𝐂 = (𝟎, 𝟎, 𝟑)$ .

$\vec{A B} = (- 1, 2, 0) \vec{A C} = (- 1, 0, 3)$

$\vec{A B} \times \vec{A C} = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3, (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)) = (6, 3, 2)$

$Á r e a = \frac{1}{2} | (6, 3, 2) | = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 9 + 4} = \frac{7}{2} = 3, 5 u^{2}$

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Producto vectorial

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Calculadora CASIO fx-CG50

La opción CrossP(VctA, VctB) del menú OPTN → VECTOR calcula directamente el producto vectorial de dos vectores ya definidos, devolviendo sus tres componentes; combinándolo con Abs(...) se obtiene también, en un solo paso, el área del paralelogramo o del triángulo que forman.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula $u \times v$ para $u = (1, 2, 3)$ y $v = (2, 0, - 1)$ y comprueba que el resultado es perpendicular a u y a v.

Ver solución

u × v = (−2, 7, −4). Comprobación: u · (u×v) = −2 + 14 − 12 = 0 y v · (u×v) = −4 + 0 + 4 = 0

2. Calcula el área del paralelogramo determinado por $u = (2, 1, 0)$ y $v = (1, 3, 1)$ .

Ver solución

u × v = (1, −2, 5) ⇒ área = √30 ≈ 5,48

3. Calcula el área del triángulo de vértices $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ y $C (0, 0, 3)$ .

Ver solución

AB = (−1, 2, 0), AC = (−1, 0, 3) ⇒ AB × AC = (6, 3, 2) ⇒ |AB × AC| = 7 ⇒ área = 7/2 = 3,5

4. Comprueba que $u \times v = - (v \times u)$ para $u = (1, 0, 2)$ y $v = (0, 1, 1)$ .

Ver solución

u × v = (−2, −1, 1) y v × u = (2, 1, −1) = −(u × v) ✓

5. Halla un vector unitario perpendicular a $(1, 1, 0)$ y a $(0, 1, 1)$ .

Ver solución

(1, 1, 0) × (0, 1, 1) = (1, −1, 1) ⇒ vector unitario (1, −1, 1)/√3 (o su opuesto)

6. ¿Qué vale $u \times v$ si u y v son paralelos? Comprueba con $u = (1, 2, 3)$ y $v = (2, 4, 6)$ .

Ver solución

Es el vector nulo. Comprobación: (1, 2, 3) × (2, 4, 6) = (12 − 12, 6 − 6, 4 − 4) = (0, 0, 0)