MAE NS › Bloque 4 · Complejos, geometría y análisis › Ampliación de la derivada

NS 5.10Límites, continuidad y derivabilidad

Comprensión informal de los conceptos de continuidad y derivabilidad de una función en un punto. Límites en el infinito y asíntotas horizontales.

Continuidad y derivabilidad

Informalmente, una función es continua en un punto si su gráfica no presenta ningún salto, hueco o rotura en ese punto (se puede dibujar sin levantar el lápiz). Una función es derivable en un punto si, además de ser continua, su gráfica no presenta un “pico” o esquina en ese punto: una función derivable en $x = a$ es siempre continua en $x = a$ , pero el recíproco no es cierto (por ejemplo, $f (x) = | x |$ es continua pero no derivable en $x = 0$ ).

Límites en el infinito

El límite ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = L$ (o cuando $x \to - \infty$ ) describe el valor al que se aproxima $f (x)$ cuando $x$ crece (o decrece) indefinidamente. Si este límite existe y es finito, la recta $y = L$ es una asíntota horizontal de la gráfica de $f$ .

Figura 9. Continuidad y derivabilidad: función derivable, punto anguloso, discontinuidad evitable y de salto.

Actividad resuelta

Calcula ${lim}_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} - 5}$ y deduce la ecuación de la asíntota horizontal correspondiente.

Dividiendo numerador y denominador entre $x^{2}$ (el término de mayor grado):

$lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} - 5} = lim_{x \to + \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x^{2}}} = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3$

La asíntota horizontal es, por tanto, $y = 3$ .

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Derivabilidad de funciones

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → TABLE, generando una tabla de valores de f(x) con incrementos pequeños de x a ambos lados de un punto (o para valores de x muy grandes), se puede explorar numéricamente si la función tiende a un valor concreto, para estimar límites laterales o límites en el infinito.

🧩 Tipos de discontinuidad

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🧩 Teorema del valor medio

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula los límites:

a) ${lim}_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

b) ${lim}_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} - 5}$

c) ${lim}_{x \to 0} \frac{s e n (3 x)}{x}$

Ver solución

a) lim (x + 2) = 4

b) 3

c) 3

2. Estudia la continuidad en $x = 1$ de $f (x) = x^{2} + 1$ si $x < 1$ ; $f (x) = 3 x - 1$ si $x \geq 1$ . Si no es continua, indica el tipo de discontinuidad.

Ver solución

Límite por la izquierda: 1 + 1 = 2 ; por la derecha: 3 − 1 = 2 ; f(1) = 2. Es continua en x = 1 (pero no derivable: las derivadas laterales son 2 y 3)

3. Halla a y b para que $f (x) = x^{2}$ si $x \leq 1$ ; $f (x) = a x + b$ si $x > 1$ sea continua y derivable en $x = 1$ .

Ver solución

Continuidad: a + b = 1. Derivabilidad: 2 = a. Luego a = 2 y b = −1

4. Justifica que $f (x) = | x - 2 |$ es continua en $x = 2$ pero no derivable en ese punto, calculando las derivadas laterales.

Ver solución

f(2) = 0 = lim |x − 2| ⇒ continua. Derivada lateral izquierda = −1 y derecha = +1 ⇒ no derivable en x = 2

5. Aplica la regla de L'Hôpital:

a) ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}}$

b) ${lim}_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

c) ${lim}_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$

Ver solución

a) lim sen x/(2x) = 1/2

b) lim 1/eˣ = 0

c) lim eˣ/1 = 1

6. Halla las asíntotas horizontales de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ calculando los límites en +∞ y en $- \infty$ .

Ver solución

lim = 2 cuando x → +∞ y cuando x → −∞ ⇒ asíntota horizontal y = 2