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NS 2.16Resolución de inecuaciones con funciones polinómicas y racionales

Resolución de $𝐠 (𝐱) \geq 𝐟 (𝐱)$ mediante métodos analíticos, para funciones polinómicas y racionales sencillas, además de métodos gráficos.

Inecuaciones con funciones polinómicas

Para resolver una inecuación polinómica de grado superior a 2, se factoriza el polinomio $h (x) = g (x) - f (x)$ (usando el teorema del factor y Ruffini si es necesario), se localizan sus ceros y se estudia el signo de $h (x)$ en los intervalos que estos determinan.

Inecuaciones con funciones racionales

Con una función racional, además de los ceros del numerador, deben localizarse los ceros del denominador, ya que en esos puntos la función no está definida (y suele cambiar de signo). Estos valores se excluyen siempre de la solución, aunque el resto del procedimiento (estudio del signo por intervalos) es análogo.

Figura 33. Tabla de signos de $(x - 1) \frac{x + 2}{x - 3}$ junto a su gráfica.

Actividad resuelta

1. Resuelve la inecuación $𝐱^{𝟑} - 𝟒 𝐱 \geq 𝟎$ .

$x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4) = x (x - 2) (x + 2)$

Los ceros son $x = - 2, 0, 2$ , que dividen la recta en cuatro intervalos. Estudiando el signo del producto $x (x - 2) (x + 2)$ en cada uno, la expresión es positiva o nula en:

$x \in [- 2, 0] \cup [2, + \infty)$

2. Resuelve la inecuación $\frac{𝐱 - 𝟏}{𝐱 + 𝟐} \geq 𝟎$ .

El numerador se anula en $x = 1$ y el denominador en $x = - 2$ (valor que debe excluirse de la solución). Estudiando el signo del cociente en los intervalos que determinan ambos puntos, el cociente es positivo o nulo en:

$x \in (- \infty, - 2) \cup [1, + \infty)$

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Inecuaciones polinómicas de grado ≥ 3

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Resuelve con una tabla de signos: $(x + 1) (x - 2) (x - 4) \leq 0$ .

Ver solución

Ceros −1, 2, 4. Solución: (−∞, −1] ∪ [2, 4]

2. Resuelve $x^{3} - 4 x > 0$ .

Ver solución

x(x − 2)(x + 2) > 0 ⇒ (−2, 0) ∪ (2, ∞)

3. Resuelve:

a) $\frac{x - 1}{x + 3} \geq 0$

b) $2 \frac{x}{x - 1} < 1$

Ver solución

a) (−∞, −3) ∪ [1, ∞)

b) 2x/(x − 1) − 1 < 0 ⇒ (x + 1)/(x − 1) < 0 ⇒ −1 < x < 1

4. Resuelve $\frac{x^{2} - x - 6}{x - 1} \geq 0$ .

Ver solución

(x − 3)(x + 2)/(x − 1) ≥ 0 ⇒ [−2, 1) ∪ [3, ∞)

5. Resuelve gráficamente, con la calculadora, $x^{3} > 2 x + 1$ (3 cifras significativas).

Ver solución

x³ − 2x − 1 > 0 ⇒ (−1; −0,618) ∪ (1,62; ∞)

6. Halla el dominio de $f (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 2}}$ .

Ver solución

(x − 1)/(x + 2) ≥ 0 ⇒ dominio (−∞, −2) ∪ [1, ∞)