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NM 1.6Igualdades e identidades

Distinción entre una ecuación y una identidad. Demostración de identidades algebraicas sencillas.

Ecuaciones e identidades

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que solo es cierta para determinados valores de la incógnita (sus soluciones). Una identidad, en cambio, es una igualdad entre dos expresiones que es cierta para todos los valores posibles de la variable, dentro de su dominio.

Por ejemplo, $2 x + 1 = 7$ es una ecuación (solo es cierta si $x = 3$ ), mientras que ${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ es una identidad, cierta para cualquier valor de $x$ .

Demostración de identidades

Para demostrar que una igualdad es una identidad, se desarrolla uno de los dos miembros (normalmente el más complejo) aplicando las propiedades algebraicas conocidas, hasta obtener una expresión idéntica al otro miembro.

Figura 4. Interpretación geométrica de la identidad ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .

Actividad resuelta

Demuestra que ${(𝐱 - 𝐲)}^{𝟐} + 𝟒 𝐱 𝐲 = {(𝐱 + 𝐲)}^{𝟐}$ es una identidad.

Se desarrolla el primer miembro:

${(x - y)}^{2} + 4 x y = x^{2} - 2 x y + y^{2} + 4 x y = x^{2} + 2 x y + y^{2} = {(x + y)}^{2}$

Como el resultado coincide exactamente con el segundo miembro para cualquier valor de $x$ e $y$ , la igualdad es una identidad.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Indica cuáles de las siguientes igualdades son identidades y cuáles son ecuaciones. Justifica.

a) ${(x + 3)}^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

b) $x^{2} - 4 = 0$

c) $2 (x - 1) + 3 = 2 x + 1$

d) $(x - 2) (x + 2) = x^{2} - 2$

Ver solución

a) Identidad (se cumple para todo x)

b) Ecuación (solo x = ±2)

c) Identidad: 2x − 2 + 3 = 2x + 1

d) Ecuación: (x − 2)(x + 2) = x² − 4, que no es x² − 2 (de hecho no tiene solución)

2. Demuestra desarrollando los dos miembros que:

a) ${(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4$ ab

b) ${(x^{2} + 1)}^{2} - {(x^{2} - 1)}^{2} = 4 x^{2}$

Ver solución

a) (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab

b) (x⁴ + 2x² + 1) − (x⁴ − 2x² + 1) = 4x²

3. Halla los valores de A y B para que $3 x + 5 \equiv A (x + 1) + B (x - 2)$ .

Ver solución

3x + 5 = (A + B)x + (A − 2B) ⇒ A + B = 3 y A − 2B = 5 ⇒ B = −2/3, A = 11/3

4. Halla a y b para que $x^{2} + 6 x + 1 \equiv {(x + a)}^{2} + b$ .

Ver solución

(x + a)² + b = x² + 2ax + a² + b ⇒ 2a = 6 ⇒ a = 3 ; 9 + b = 1 ⇒ b = −8

5. Factoriza utilizando identidades notables:

a) $9 x^{2} - 16$

b) $x^{2} + 10 x + 25$

c) $4 x^{2} - 12 x + 9$

d) $x^{3} - 27$

Ver solución

a) (3x − 4)(3x + 4)

b) (x + 5)²

c) (2x − 3)²

d) (x − 3)(x² + 3x + 9)

6. Comprueba con $x = 2$ y con $x = - 1$ que ${(x + 1)}^{3} \equiv x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ . ¿Basta esta comprobación para demostrar una identidad? ¿Y para refutarla?

Ver solución

x = 2: 27 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27 ✓ ; x = −1: 0 = −1 + 3 − 3 + 1 = 0 ✓. Comprobar algunos valores no basta para demostrar una identidad (hay que desarrollar o comprobar más valores que el grado + 1), pero un solo valor que no la cumpla basta para refutarla