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NM 2.10Resolución de inecuaciones

Resolución de $𝐠 (𝐱) \geq 𝐟 (𝐱)$ , tanto gráfica como analíticamente.

Resolución de inecuaciones

Para resolver una inecuación del tipo $g (x) \geq f (x)$ se estudia el signo de $h (x) = g (x) - f (x)$ : la solución de la inecuación es el conjunto de valores de $x$ para los que $h (x) \geq 0$ . Analíticamente, se hallan los ceros de $h (x)$ (los puntos donde $g (x) = f (x)$ ), que dividen la recta real en intervalos, y se comprueba el signo de $h (x)$ en un punto de cada intervalo. Gráficamente, la solución corresponde a los tramos en los que la gráfica de $g$ queda por encima (o coincide con) la gráfica de $f$ .

Figura 27. Resolución gráfica de $x^{2} - x - 6 < 0$ : la parábola queda por debajo del eje X en ] $- 2$ , 3[.

Actividad resuelta

Resuelve la inecuación $𝐱^{𝟐} - 𝟐 𝐱 - 𝟑 \leq 𝟎$ .

Se hallan los ceros de $h (x) = x^{2} - 2 x - 3$ : $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} = {\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix}$

Como $h (x)$ es una parábola con $a = 1 > 0$ (abre hacia arriba), es negativa o nula entre sus dos ceros. Por tanto, la solución es:

$x \in [- 1, 3]$

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Inecuaciones con una incógnita

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🧩 Inecuaciones de segundo grado

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Resuelve y representa la solución en la recta real:

a) $3 x - 2 > 7$

b) $- 2 x + 5 \leq 1$

c) $1 < 2 x + 3 \leq 9$

Ver solución

a) x > 3, es decir, (3, ∞)

b) x ≥ 2, es decir, [2, ∞)

c) −1 < x ≤ 3, es decir, (−1, 3]

2. Resuelve:

a) $x^{2} - 3 x - 4 < 0$

b) $x^{2} - 4 \geq 0$

c) $x^{2} + 2 x + 5 > 0$

Ver solución

a) (x − 4)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 4

b) x ≤ −2 o x ≥ 2

c) Δ < 0 y el coeficiente principal es positivo ⇒ se cumple para todo x real

3. Resuelve:

a) $| x - 1 | < 3$

b) $| 2 x + 1 | \geq 5$

Ver solución

a) −2 < x < 4

b) 2x + 1 ≥ 5 o 2x + 1 ≤ −5 ⇒ x ≥ 2 o x ≤ −3

4. Utiliza la gráfica de $y = x^{2} - 2 x - 3$ (dibújala) para resolver $x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ .

Ver solución

La parábola corta al eje X en −1 y 3 y está por encima o sobre él fuera de (−1, 3): x ≤ −1 o x ≥ 3

5. El beneficio de una empresa es $B (x) = - x^{2} + 10 x - 16$ (miles de euros) con x unidades vendidas. ¿Para qué valores de x hay beneficio positivo?

Ver solución

−x² + 10x − 16 > 0 ⇒ (x − 2)(x − 8) < 0 ⇒ 2 < x < 8

6. Resuelve $2^{x} \geq 8$ y explica por qué se conserva el sentido de la desigualdad.

Ver solución

2ˣ ≥ 2³ ⇒ x ≥ 3. Se conserva el sentido porque 2ˣ es una función creciente (base mayor que 1)