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NM 5.4Reglas de derivación

Derivada de $𝐱^{𝐧}$ , $s e n 𝐱$ , $𝐜 𝐨 𝐬 𝐱$ , $𝐞^{𝐱}$ y $𝐥 𝐧 𝐱$ . Reglas de derivación: de la suma, del producto, del cociente, y regla de la cadena para funciones compuestas.

Derivadas de funciones elementales

Función	Derivada
$f (x) = k$ (constante)	$f' (x) = 0$
$f (x) = x^{n}$	$f' (x) = n x^{n - 1}$
$f (x) = s e n x$	$f' (x) = c o s x$
$f (x) = c o s x$	$f' (x) = - s e n x$
$f (x) = e^{x}$	$f' (x) = e^{x}$
$f (x) = l n x$	$f' (x) = \frac{1}{x}$

Reglas de derivación

$𝐒 𝐮 𝐦 𝐚 : (f \pm g)' (x) = f' (x) \pm g' (x) 𝐏 𝐫 𝐨 𝐝 𝐮 𝐜 𝐭 𝐨 : (f \cdot g)' (x) = f' (x) g (x) + f (x) g' (x)$

$𝐂 𝐨 𝐜 𝐢 𝐞 𝐧 𝐭 𝐞 : (\frac{f}{g})' (x) = \frac{f' (x) g (x) - f (x) g' (x)}{{[g (x)]}^{2}} 𝐑 𝐞 𝐠 𝐥 𝐚 𝐝 𝐞 𝐥 𝐚 𝐜 𝐚 𝐝 𝐞 𝐧 𝐚 : (g \circ f)' (x) = g' (f (x)) \cdot f' (x)$

Figura 35. Regla de la cadena: la derivada de una composición es el producto de las derivadas de cada eslabón.

Actividad resuelta

1. Deriva $𝐟 (𝐱) = 𝟑 𝐱^{𝟒} \cdot s e n 𝐱$ y $𝐠 (𝐱) = \frac{𝐞^{𝐱}}{𝐱^{𝟐} + 𝟏}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} \cdot s e n x + 3 x^{4} \cdot c o s x$

$g' (x) = \frac{e^{x} (x^{2} + 1) - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

2. Deriva $𝐡 (𝐱) = 𝐥 𝐧 (𝟑 𝐱^{𝟐} - 𝟏)$ y $𝐤 (𝐱) = 𝐜 𝐨 𝐬 (𝟓 𝐱 + 𝟐)$ usando la regla de la cadena.

$h' (x) = \frac{6 x}{3 x^{2} - 1} k' (x) = - 5 s e n (5 x + 2)$

🖩 Recursos tecnológicos

Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → RUN·MAT, la instrucción d/dx(f(x), a) (tecla OPTN → CALC → d/dx) calcula el valor numérico de la derivada de f en un punto concreto x=a, lo que permite comprobar rápidamente el resultado de aplicar las reglas de derivación a mano.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Deriva:

a) $f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x$

b) $f (x) = 5 \sqrt{x}$

c) $f (x) = \frac{4}{x^{2}}$

d) $f (x) = 7$

Ver solución

a) 12x³ − 6x² + 1

b) 5/(2√x)

c) f = 4x⁻² ⇒ −8x⁻³ = −8/x³

d) 0

2. Deriva aplicando la regla del producto:

a) $f (x) = x^{2} e^{x}$

b) $f (x) = x ln x$

c) $f (x) = (x^{2} + 1) (3 x - 2)$

Ver solución

a) 2x eˣ + x² eˣ = x(x + 2) eˣ

b) ln x + 1

c) 2x(3x − 2) + 3(x² + 1) = 9x² − 4x + 3

3. Deriva aplicando la regla del cociente:

a) $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

b) $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$

c) $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$

Ver solución

a) (1 − x²)/(x² + 1)²

b) [2(x − 3) − (2x + 1)]/(x − 3)² = −7/(x − 3)²

c) eˣ(x − 1)/x²

4. Deriva aplicando la regla de la cadena:

a) $f (x) = {(3 x - 2)}^{5}$

b) $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

c) $f (x) = e^{- 2 x}$

d) $f (x) = s e n (3 x)$

e) $f (x) = ln (x^{2} + 1)$

Ver solución

a) 15(3x − 2)⁴

b) x/√(x² + 1)

c) −2 e^(−2x)

d) 3 cos(3x)

e) 2x/(x² + 1)

5. Calcula $f' (1)$ para $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

Ver solución

f′(x) = eˣ(x² + 2x) ⇒ f′(1) = 3e ≈ 8,15

6. Halla los puntos de la curva $y = x^{3} - 3 x$ en los que la tangente es horizontal.

Ver solución

3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1 ⇒ puntos (1, −2) y (−1, 2)