MAE NS › Bloque 4 · Complejos, geometría y análisis › Integrales I

NS 1.11Fracciones parciales

Fracciones parciales, con un máximo de dos términos lineales distintos en el denominador, siendo el grado del numerador menor que el grado del denominador.

Descomposición en fracciones parciales

Una fracción algebraica en la que el denominador se puede factorizar como producto de términos lineales distintos puede expresarse como suma de fracciones más sencillas, cada una de ellas con uno de esos factores en el denominador. A este proceso se le denomina descomposición en fracciones parciales.

Si el denominador tiene dos factores lineales distintos, $(x - a)$ y $(x - b)$ , y el grado del numerador es menor que el del denominador, se plantea:

$\frac{f (x)}{(x - a) (x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$

donde $A$ y $B$ son constantes que se determinan multiplicando ambos lados por $(x - a) (x - b)$ e igualando coeficientes, o bien sustituyendo valores convenientes de $x$ .

Cuando uno de los factores lineales está elevado al cuadrado, ${(x - a)}^{2}$ , la descomposición requiere un término para cada potencia:

$\frac{f (x)}{{(x - a)}^{2} (x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{{(x - a)}^{2}} + \frac{C}{x - b}$

Actividad resuelta

1. Descompón en fracciones parciales: $\frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Se factoriza el denominador: $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$ . Se plantea la descomposición:

$\frac{2 x + 1}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

Multiplicando ambos lados por $(x - 1) (x + 2)$ :

$2 x + 1 = A (x + 2) + B (x - 1)$

Sustituyendo $x = 1$ : $3 = 3 A \to A = 1$ . Sustituyendo $x = - 2$ : $- 3 = - 3 B \to B = 1$ .

Por tanto:

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} \equiv \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$

2. Descompón en fracciones parciales: $\frac{3 x - 1}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$

Se plantea:

$\frac{3 x - 1}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Multiplicando por ${(x - 2)}^{2} (x + 1)$ :

$3 x - 1 = A (x - 2) (x + 1) + B (x + 1) + C {(x - 2)}^{2}$

Sustituyendo $x = 2$ : $5 = 3 B \to B = \frac{5}{3}$ . Sustituyendo $x = - 1$ : $- 4 = 9 C \to C = - \frac{4}{9}$ .

Igualando el coeficiente de $x^{2}$ : $0 = A + C \to A = \frac{4}{9}$ .

Por tanto:

$\frac{3 x - 1}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} \equiv \frac{4}{9 (x - 2)} + \frac{5}{3 {(x - 2)}^{2}} - \frac{4}{9 (x + 1)}$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Descompón en fracciones parciales:

a) $\frac{3 x + 5}{(x + 1) (x + 2)}$

b) $\frac{1}{x^{2} - 1}$

c) $\frac{x + 7}{x^{2} - x - 6}$

Ver solución

a) 2/(x + 1) + 1/(x + 2)

b) ½[1/(x − 1) − 1/(x + 1)]

c) 2/(x − 3) − 1/(x + 2)

2. Halla A y B tales que $\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ .

Ver solución

5x − 1 = A(x + 1) + B(x − 2): x = 2 ⇒ A = 3 ; x = −1 ⇒ B = 2

3. Comprueba la descomposición $\frac{2}{x^{2} - 4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$ sumando las fracciones.

Ver solución

½ · [(x + 2) − (x − 2)]/(x² − 4) = ½ · 4/(x² − 4) = 2/(x² − 4) ✓

4. Calcula $\int \frac{1}{(x - 1) (x + 3)} d x$ descomponiendo en fracciones parciales.

Ver solución

1/((x − 1)(x + 3)) = ¼[1/(x − 1) − 1/(x + 3)] ⇒ ∫ = ¼ ln |(x − 1)/(x + 3)| + C

5. Descompón $\frac{x + 4}{x^{2} + x}$ y úsalo para calcular el valor de la integral definida de 1 a 2.

Ver solución

(x + 4)/(x(x + 1)) = 4/x − 3/(x + 1). ∫₁² = 4 ln 2 − 3(ln 3 − ln 2) = 7 ln 2 − 3 ln 3 ≈ 1,556