MAE NS › Bloque 5 · Análisis y probabilidad › Integrales II

NS 1.11Fracciones parciales

Fracciones parciales, con un máximo de dos términos lineales distintos en el denominador, siendo el grado del numerador menor que el grado del denominador.

Descomposición en fracciones parciales

Una fracción algebraica en la que el denominador se puede factorizar como producto de términos lineales distintos puede expresarse como suma de fracciones más sencillas, cada una de ellas con uno de esos factores en el denominador. A este proceso se le denomina descomposición en fracciones parciales.

Si el denominador tiene dos factores lineales distintos, $(x - a)$ y $(x - b)$ , y el grado del numerador es menor que el del denominador, se plantea:

$\frac{f (x)}{(x - a) (x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$

donde $A$ y $B$ son constantes que se determinan multiplicando ambos lados por $(x - a) (x - b)$ e igualando coeficientes, o bien sustituyendo valores convenientes de $x$ .

Cuando uno de los factores lineales está elevado al cuadrado, ${(x - a)}^{2}$ , la descomposición requiere un término para cada potencia:

$\frac{f (x)}{{(x - a)}^{2} (x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{{(x - a)}^{2}} + \frac{C}{x - b}$

Actividad resuelta

1. Descompón en fracciones parciales: $\frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Se factoriza el denominador: $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$ . Se plantea la descomposición:

$\frac{2 x + 1}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

Multiplicando ambos lados por $(x - 1) (x + 2)$ :

$2 x + 1 = A (x + 2) + B (x - 1)$

Sustituyendo $x = 1$ : $3 = 3 A \to A = 1$ . Sustituyendo $x = - 2$ : $- 3 = - 3 B \to B = 1$ .

Por tanto:

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2} \equiv \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$

2. Descompón en fracciones parciales: $\frac{3 x - 1}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$

Se plantea:

$\frac{3 x - 1}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Multiplicando por ${(x - 2)}^{2} (x + 1)$ :

$3 x - 1 = A (x - 2) (x + 1) + B (x + 1) + C {(x - 2)}^{2}$

Sustituyendo $x = 2$ : $5 = 3 B \to B = \frac{5}{3}$ . Sustituyendo $x = - 1$ : $- 4 = 9 C \to C = - \frac{4}{9}$ .

Igualando el coeficiente de $x^{2}$ : $0 = A + C \to A = \frac{4}{9}$ .

Por tanto:

$\frac{3 x - 1}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} \equiv \frac{4}{9 (x - 2)} + \frac{5}{3 {(x - 2)}^{2}} - \frac{4}{9 (x + 1)}$

Anexo · Integrales racionales

Una integral racional es la integral de un cociente de polinomios. Según la forma del integrando se elige una estrategia; recórrelas en este orden, de la más sencilla a la más completa. Recuerda que en una integral indefinida hay que añadir la constante $C$ y que, en una definida, se evalúa la primitiva en los límites.

1. Logaritmo: el numerador es la derivada del denominador

Para un denominador lineal, y en general cuando el numerador es la derivada del denominador (o un múltiplo suyo), el resultado es un logaritmo:

$\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} ln | a x + b | + C$

$\int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = ln | f (x) | + C$

Ejemplo 1

Calcula $\int \frac{3}{2 x - 1} d x$ .

$\int \frac{3}{2 x - 1} d x = \frac{3}{2} ln | 2 x - 1 | + C$

Ejemplo 2

Calcula $\int \frac{3 x^{2} + 1}{x^{3} + x} d x$ . Como $(x^{3} + x)' = 3 x^{2} + 1$ , el numerador es exactamente la derivada del denominador:

$\int \frac{3 x^{2} + 1}{x^{3} + x} d x = ln | x^{3} + x | + C$

Ejemplo 3

Calcula $\int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$ . El numerador es la mitad de la derivada del denominador:

$\int \frac{x}{x^{2} + 3} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^{2} + 3} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 3) + C$

2. Potencia: f′ · fⁿ con n negativo

Si el denominador es una potencia de un factor cuya derivada aparece en el numerador, se reescribe el integrando como $f' (x) {[f (x)]}^{n}$ y se aplica la regla de la potencia:

$\int f' (x) {[f (x)]}^{n} d x = \frac{{[f (x)]}^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq - 1)$

Ejemplo 4

Calcula $\int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$ .

$\int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x = \int {(x + 1)}^{- 2} d x = - \frac{1}{x + 1} + C$

Ejemplo 5

Calcula $\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$ .

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x = \frac{1}{2} \int 2 x {(x^{2} + 1)}^{- 2} d x = - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$

3. Arcotangente: x² + a² en el denominador

Cuando el denominador es una suma de cuadrados y el numerador es constante:

$\int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} d x = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C$

Ejemplo 6

Calcula $\int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$ .

$\int \frac{1}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} arctan \frac{x}{2} + C$

Ejemplo 7

Calcula $\int_{0}^{1} \frac{6}{x^{2} + 1} d x$ .

$\int_{0}^{1} \frac{6}{x^{2} + 1} d x = 6 {[arctan x]}_{0}^{1} = 6 \cdot \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Si el denominador es una cuadrática sin raíces reales, se completa el cuadrado: $x^{2} + 2 x + 5 = {(x + 1)}^{2} + 4$ , de modo que $\int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 5} d x = \frac{1}{2} arctan \frac{x + 1}{2} + C$ . (Esta variante suele considerarse ampliación; consulta la guía del curso.)

4. Logaritmo + arcotangente: numerador de grado 1 sobre una cuadrática sin raíces reales

Se escribe el numerador como (derivada del denominador) + constante y se separa en dos integrales: la primera da un logaritmo y la segunda un arcotangente.

Ejemplo 8

Calcula $\int \frac{2 x + 3}{x^{2} + 2 x + 5} d x$ . Como $(x^{2} + 2 x + 5)' = 2 x + 2$ , se escribe $2 x + 3 = (2 x + 2) + 1$ :

$\int \frac{2 x + 3}{x^{2} + 2 x + 5} d x = \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 5} d x + \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2} + 4} d x$

$= ln (x^{2} + 2 x + 5) + \frac{1}{2} arctan \frac{x + 1}{2} + C$

5. Fracciones parciales: denominador factorizable

Si el denominador se factoriza en factores lineales (descomposición de este ítem), se descompone la fracción y cada sumando es de tipo 1 (logaritmo) o de tipo 2 (potencia).

Ejemplo 9

Calcula $\int \frac{x + 4}{x (x + 1)} d x$ . Descomposición:

$\frac{x + 4}{x (x + 1)} = \frac{4}{x} - \frac{3}{x + 1}$

Por tanto:

$\int \frac{x + 4}{x (x + 1)} d x = 4 ln | x | - 3 ln | x + 1 | + C$

Ejemplo 10

Calcula $\int \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$ (factor repetido). Descomposición:

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Por tanto (logaritmo + potencia):

$\int \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x = 2 ln | x + 1 | + \frac{2}{x + 1} + C$

6. Grado del numerador ≥ grado del denominador: dividir primero

Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide antes de integrar: el cociente es un polinomio y el resto da una fracción propia a la que se aplica lo anterior.

Ejemplo 11

Calcula $\int \frac{x^{2} + 1}{x + 1} d x$ . Como $x^{2} + 1 = (x + 1) (x - 1) + 2$ :

$\frac{x^{2} + 1}{x + 1} = x - 1 + \frac{2}{x + 1}$

$\int \frac{x^{2} + 1}{x + 1} d x = \frac{x^{2}}{2} - x + 2 ln | x + 1 | + C$

Resumen: ¿qué método uso?

Numerador = derivada del denominador (o múltiplo) → $ln | f (x) |$ .
Denominador $f {(x)}^{n}$ con $f'$ en el numerador → potencia: $\frac{f^{n + 1}}{n + 1}$ .
$x^{2} + a^{2}$ con numerador constante → $\frac{1}{a} arctan \frac{x}{a}$ .
Cuadrática sin raíces reales con numerador de grado 1 → logaritmo + arcotangente.
Denominador factorizable → fracciones parciales → logaritmos y potencias.
Grado del numerador ≥ grado del denominador → dividir primero.

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Descompón en fracciones parciales:

a) $\frac{3 x + 5}{(x + 1) (x + 2)}$

b) $\frac{1}{x^{2} - 1}$

c) $\frac{x + 7}{x^{2} - x - 6}$

Ver solución

a) 2/(x + 1) + 1/(x + 2)

b) ½[1/(x − 1) − 1/(x + 1)]

c) 2/(x − 3) − 1/(x + 2)

2. Halla A y B tales que $\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ .

Ver solución

5x − 1 = A(x + 1) + B(x − 2): x = 2 ⇒ A = 3 ; x = −1 ⇒ B = 2

3. Comprueba la descomposición $\frac{2}{x^{2} - 4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$ sumando las fracciones.

Ver solución

½ · [(x + 2) − (x − 2)]/(x² − 4) = ½ · 4/(x² − 4) = 2/(x² − 4) ✓

4. Calcula $\int \frac{1}{(x - 1) (x + 3)} d x$ descomponiendo en fracciones parciales.

Ver solución

1/((x − 1)(x + 3)) = ¼[1/(x − 1) − 1/(x + 3)] ⇒ ∫ = ¼ ln |(x − 1)/(x + 3)| + C

5. Descompón $\frac{x + 4}{x^{2} + x}$ y úsalo para calcular el valor de la integral definida de 1 a 2.

Ver solución

(x + 4)/(x(x + 1)) = 4/x − 3/(x + 1). ∫₁² = 4 ln 2 − 3(ln 3 − ln 2) = 7 ln 2 − 3 ln 3 ≈ 1,556

6. Calcula:

a) $\int \frac{5}{3 x + 2} d x$
b) $\int \frac{4 x}{x^{2} - 3} d x$
c) $\int \frac{3 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x} d x$

Ver solución

a) $\frac{5}{3} ln | 3 x + 2 | + C$

b) $2 ln | x^{2} - 3 | + C$

c) $ln | x^{3} + 2 x | + C$

7. Calcula (potencia):

a) $\int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x$
b) $\int \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} d x$
c) $\int \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x + 3)}^{3}} d x$

Ver solución

a) $- \frac{1}{x - 2} + C$

b) $- \frac{1}{2 (x^{2} + 4)} + C$

c) $- \frac{1}{4 {(x^{2} + 2 x + 3)}^{2}} + C$

8. Calcula (arcotangente):

a) $\int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$
b) $\int \frac{6}{x^{2} + 4} d x$
c) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$
d) $\int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2} d x$ (ampliación)

Ver solución

a) $\frac{1}{3} arctan \frac{x}{3} + C$

b) $3 arctan \frac{x}{2} + C$

c) $\frac{π}{3}$

d) $arctan (x + 1) + C$

9. Calcula $\int \frac{4 x + 6}{x^{2} + 2 x + 10} d x$ separando el numerador en «derivada del denominador + constante» (ampliación).

Ver solución

$4 x + 6 = 2 (2 x + 2) + 2$ ⇒ $2 ln (x^{2} + 2 x + 10) + 2 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2} + 9} d x = 2 ln (x^{2} + 2 x + 10) + \frac{2}{3} arctan \frac{x + 1}{3} + C$

10. Calcula usando fracciones parciales:

a) $\int \frac{5 x - 1}{(x - 2) (x + 1)} d x$
b) $\int \frac{3}{x^{2} - x - 2} d x$

Ver solución

a) $3 ln | x - 2 | + 2 ln | x + 1 | + C$

b) $\frac{3}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 1}$ ⇒ $ln | \frac{x - 2}{x + 1} | + C$

11. Calcula $\int \frac{3 x + 1}{{(x + 1)}^{2}} d x$ descomponiendo en fracciones parciales.

Ver solución

$\frac{3 x + 1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{3}{x + 1} - \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ ⇒ $3 ln | x + 1 | + \frac{2}{x + 1} + C$

12. Divide antes de integrar:

a) $\int \frac{x^{2} + 3 x}{x + 1} d x$
b) $\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} d x$

Ver solución

a) $x^{2} + 3 x = (x + 1) (x + 2) - 2$ ⇒ $\frac{x^{2}}{2} + 2 x - 2 ln | x + 1 | + C$

b) ${[\frac{x^{2}}{2} - x + 2 ln (x + 1)]}_{0}^{1} = 2 ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0, 886$

13. Calcula $\int_{0}^{1} \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$ .

Ver solución

El numerador es la derivada del denominador: ${[ln (x^{2} + x + 1)]}_{0}^{1} = ln 3 \approx 1, 099$