NM 3.2Conceptos básicos de la trigonometría

Medida de ángulos en grados y en radianes. Longitud de un arco y área de un sector circular.

Grados y radianes

Un ángulo puede medirse en grados (una circunferencia completa mide 360°) o en radianes (una circunferencia completa mide $2\pi$ rad). La relación entre ambas unidades es:

$$\pi rad=180{}^{\circ }$$

de donde se obtiene la conversión: para pasar de grados a radianes se multiplica por $\frac{\pi }{180}$, y para pasar de radianes a grados se multiplica por $\frac{180}{\pi }$.

Longitud de arco y área de un sector circular

En una circunferencia de radio $r$, si $\theta$ es el ángulo central expresado en radianes, la longitud del arco correspondiente y el área del sector circular son:

$$L=r\theta A_{sector}=\frac{1}{2}{r}^2\theta$$

Figura 44. Sector circular: arco y área proporcionales al ángulo central.

Un sector circular de radio 12 cm tiene un ángulo central de 50°. Calcula la longitud de su arco y su área.

Se convierte el ángulo a radianes: $\theta =50\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{5\pi }{18}$ rad.

$$L=r\theta =12\cdot \frac{5\pi }{18}=\frac{10\pi }{3}\approx 10,47cm$$

$$A_{sector}=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}\cdot 144\cdot \frac{5\pi }{18}=20\pi \approx 62,83{cm}^2$$