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NM 2.11Transformaciones de funciones

Transformación de gráficas: traslaciones, estiramientos (horizontales y verticales) y reflexiones según los ejes. Composición de transformaciones sencillas.

Transformaciones de gráficas

A partir de la gráfica de una función $f$ , se pueden obtener nuevas gráficas mediante transformaciones sencillas:

Transformación	Función resultante	Efecto sobre la gráfica de $f$
Traslación vertical	$y = f (x) + k$	Desplazamiento de $k$ unidades hacia arriba (si $k > 0$ )
Traslación horizontal	$y = f (x - h)$	Desplazamiento de $h$ unidades hacia la derecha (si $h > 0$ )
Estiramiento vertical	$y = a \cdot f (x)$	Estiramiento (si $\| a \| > 1$ ) o compresión (si $0 < \| a \| < 1$ ) vertical de razón $\| a \|$
Estiramiento horizontal	$y = f (b x)$	Estiramiento (si $0 < \| b \| < 1$ ) o compresión (si $\| b \| > 1$ ) horizontal de razón $\frac{1}{\| b \|}$
Reflexión en el eje X	$y = - f (x)$	Simetría respecto al eje X
Reflexión en el eje Y	$y = f (- x)$	Simetría respecto al eje Y

Estas transformaciones pueden componerse: por ejemplo, $y = a \cdot f (x - h) + k$ combina un estiramiento vertical, una traslación horizontal y una traslación vertical, y debe aplicarse en el orden adecuado para obtener la gráfica correcta.

Figura 28. Transformaciones de la gráfica de $y = f (x)$ : traslaciones, reflexión y estiramiento.

Actividad resuelta

A partir de la gráfica de $𝐟 (𝐱) = 𝐱^{𝟐}$ , describe las transformaciones que producen la gráfica de $𝐠 (𝐱) = - 𝟐 {(𝐱 + 𝟏)}^{𝟐} + 𝟑$ y halla el vértice de g.

Partiendo de $f (x) = x^{2}$ (vértice en el origen): una traslación horizontal de 1 unidad hacia la izquierda da ${(x + 1)}^{2}$ ; un estiramiento vertical de razón 2 junto con una reflexión respecto al eje X da $- 2 {(x + 1)}^{2}$ ; y una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba da, finalmente, $g (x) = - 2 {(x + 1)}^{2} + 3$ .

El vértice de $g$ es, por tanto, el del vértice de $f$ (el origen) trasladado: $(- 𝟏, 𝟑)$ .

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🧩 Transformaciones de funciones

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Describe la transformación de $y = x^{2}$ que da cada gráfica y escribe su ecuación:

a) $y = f (x) + 3$

b) $y = f (x - 2)$

c) $y = - f (x)$

d) $y = 2 f (x)$

e) $y = f (2 x)$

Ver solución

a) Traslación de 3 unidades hacia arriba: y = x² + 3

b) Traslación de 2 unidades a la derecha: y = (x − 2)²

c) Reflexión respecto del eje X: y = −x²

d) Estiramiento vertical de factor 2: y = 2x²

e) Compresión horizontal de factor 1/2: y = 4x²

2. El punto $(2, 5)$ pertenece a $y = f (x)$ . Halla su imagen en:

a) $y = f (x) + 1$

b) $y = f (x - 3)$

c) $y = - f (x)$

d) $y = f (2 x)$

e) $y = 3 f (x)$

Ver solución

a) (2, 6)

b) (5, 5)

c) (2, −5)

d) (1, 5)

e) (2, 15)

3. Describe la secuencia de transformaciones que lleva $y = x^{2}$ a $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ .

Ver solución

Traslación de 1 unidad a la derecha, estiramiento vertical de factor 2 y traslación de 3 unidades hacia arriba

4. La gráfica de $y = g (x)$ tiene vértice en $(1, - 2)$ . Halla el vértice de $y = g (x + 2) - 3$ y de $y = - 2 g (x)$ .

Ver solución

y = g(x + 2) − 3: vértice (−1, −5). y = −2g(x): vértice (1, 4) (ahora es un máximo)

5. Dada $y = f (x)$ con ceros en $x = - 1$ y $x = 4$ y máximo en $(2, 3)$ , halla los ceros y el máximo de $y = f (2 x)$ , $y = - f (x)$ e $y = f (x - 1) + 2$ .

Ver solución

y = f(2x): ceros −1/2 y 2, máximo (1, 3). y = −f(x): ceros −1 y 4, mínimo (2, −3). y = f(x − 1) + 2: máximo (3, 5) (los ceros no se pueden obtener solo con estos datos)

6. Dibuja $y = \sqrt{x}$ y, a partir de ella, $y = \sqrt{x + 3} - 1$ .

Ver solución

y = √(x + 3) − 1 es la gráfica de √x desplazada 3 unidades a la izquierda y 1 hacia abajo; su punto inicial es (−3, −1)