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NS 5.17Ecuaciones diferenciales

Planteamiento de ecuaciones diferenciales a partir de una razón de cambio. Resolución de ecuaciones diferenciales de variables separables. Campos de direcciones (pendientes). Método de Euler para la resolución numérica aproximada.

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Una ecuación diferencial relaciona una función desconocida con su(s) derivada(s); por ejemplo, $\frac{d y}{d x} = k y$ describe una razón de cambio proporcional a la propia cantidad (crecimiento o decrecimiento exponencial). Cuando la ecuación se puede escribir de la forma $\frac{d y}{d x} = f (x) \cdot g (y)$ , se dice que es de variables separables, y se resuelve reorganizando términos e integrando ambos miembros por separado:

$\frac{d y}{d x} = f (x) g (y) \Rightarrow \int \frac{d y}{g (y)} = \int f (x) d x$

Campos de direcciones

Un campo de direcciones (o campo de pendientes) representa, en distintos puntos del plano, un pequeño segmento con la pendiente que tendría la solución de la ecuación diferencial en ese punto (dada por $\frac{d y}{d x}$ ), sin necesidad de resolver la ecuación; permite visualizar la forma general de las curvas solución.

Método de Euler

El método de Euler aproxima numéricamente la solución de una ecuación diferencial $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ con una condición inicial dada, avanzando en pasos pequeños de tamaño $h$ mediante la fórmula iterativa:

$y_{n + 1} = y_{n} + h \cdot f (x_{n}, y_{n})$

Figura 19. Campo de pendientes de $\frac{d y}{d x} = x - y$ con tres soluciones particulares.

Actividad resuelta

1. Resuelve la ecuación diferencial $\frac{𝐝 𝐲}{𝐝 𝐱} = 𝟐 𝐱 𝐲$ sabiendo que $𝐲 (𝟎) = 𝟑$ .

$\int \frac{d y}{y} = \int 2 x d x \to l n | y | = x^{2} + c \to y = A e^{x^{2}}$

Con $y (0) = 3$ : $3 = A e^{0} \to A = 3$ . La solución es $y = 3 e^{x^{2}}$ .

2. Utiliza el método de Euler con $𝐡 = 𝟎, 𝟓$ para estimar $𝐲 (𝟏)$ si $\frac{𝐝 𝐲}{𝐝 𝐱} = 𝐱 + 𝐲$ e $𝐲 (𝟎) = 𝟏$ .

$y_{1} = y_{0} + h \cdot f (x_{0}, y_{0}) = 1 + 0, 5 (0 + 1) = 1, 5 (e n x = 0, 5)$

$y_{2} = y_{1} + h \cdot f (x_{1}, y_{1}) = 1, 5 + 0, 5 (0, 5 + 1, 5) = 1, 5 + 1 = 2, 5 (e n x = 1)$

Por tanto, la estimación de Euler es $y (1) \approx 2, 5$ .

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Resuelve la ecuación diferencial $\frac{d y}{d x} = 2$ xy con $y (0) = 3$ por separación de variables.

Ver solución

dy/y = 2x dx ⇒ ln y = x² + C ⇒ y = 3e^(x²)

2. Resuelve $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}}$ con $y (1) = e$ .

Ver solución

dy/y = dx/x² ⇒ ln y = −1/x + C ; y(1) = e ⇒ C = 2 ⇒ y = e^(2 − 1/x)

3. Una población P crece a un ritmo proporcional a su tamaño: $\frac{d P}{d t} = 0, 05$ P con $P (0) = 200$ . Resuelve y halla $P (10)$ .

Ver solución

P = 200 e^(0,05t) ; P(10) = 200 e^(0,5) ≈ 329,7

4. Dibuja el campo de pendientes de $\frac{d y}{d x} = x - y$ en los puntos enteros de $[- 2, 2] \times [- 2, 2]$ y traza la solución que pasa por $(0, 0)$ .

Ver solución

La pendiente en cada punto (x, y) es x − y (por ejemplo, 0 en (0, 0), 1 en (1, 0) y −1 en (0, 1)). La solución por el origen es y = x − 1 + e^(−x), con un mínimo en (0, 0)

5. Usa el método de Euler con paso $h = 0, 5$ para aproximar $y (1)$ si $\frac{d y}{d x} = x + y$ e $y (0) = 1$ .

Ver solución

y(0,5) ≈ 1 + 0,5(0 + 1) = 1,5 ; y(1) ≈ 1,5 + 0,5(0,5 + 1,5) = 2,5 (el valor exacto, 2e − 2 ≈ 3,44, es mayor)

6. Un depósito pierde agua a un ritmo proporcional al volumen: $\frac{d V}{d t} =$ −kV. Si $V (0) = 1000$ y $V (5) = 600$ , halla k y $V (10)$ .

Ver solución

V = 1000 e^(−kt) ; 600 = 1000 e^(−5k) ⇒ k = ln(5/3)/5 ≈ 0,102 ; V(10) = 1000 · 0,6² = 360