NS 1.10Combinatoria

Reglas de conteo, incluidas las permutaciones y las combinaciones.

Ampliación del teorema del binomio a casos con índices fraccionarios y negativos.

Principio de conteo

Antes de particularizar en permutaciones y combinaciones conviene recordar el principio multiplicativo de conteo: si una acción se puede realizar de $m$ formas distintas y, para cada una de ellas, una segunda acción se puede realizar de $n$ formas distintas, entonces ambas acciones combinadas se pueden realizar de $m\cdot n$ formas.

Permutaciones

Una permutación es una ordenación de elementos en la que sí importa el orden. El número de formas de ordenar $n$ elementos distintos es:

$$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1$$

Si solo se ordenan $r$ elementos tomados de un conjunto de $n$ elementos distintos, el número de permutaciones es:

$${}_n{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

Permutaciones circulares

Cuando $n$ elementos se colocan alrededor de un círculo, las rotaciones de una misma ordenación se consideran iguales entre sí. Fijando un elemento como referencia, el número de permutaciones circulares distintas de $n$ elementos es:

$$(n-1)!$$

Combinaciones

A diferencia de las permutaciones, en una combinación no importa el orden de los elementos seleccionados. El número de formas de elegir $r$ elementos de un conjunto de $n$, sin importar el orden, es el número combinatorio visto en el apartado anterior:

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right){=}_n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

La relación entre ambos recuentos es ${}_n{P}_r{=}_n{C}_r\cdot r!$, ya que cada combinación de $r$ elementos puede ordenarse internamente de $r!$ formas distintas.

Figura 6. Principio multiplicativo: 2 primeros platos × 3 segundos platos $=6$ menús distintos.

Ampliación del teorema del binomio

El teorema del binomio visto en el apartado 1.9 es válido para $n\mathbb{\in }\mathbb{N}$. Es posible ampliar esta fórmula a exponentes racionales, tanto fraccionarios como negativos, reescribiendo previamente el binomio de forma que uno de los sumandos sea 1:

$${(a+b)}^n={\left(a(1+\frac{b}{a})\right)}^n=a^n{(1+\frac{b}{a})}^n,n\mathbb{\in }\mathbb{Q}$$

De este modo basta con conocer el desarrollo de ${(1+x)}^n$ para $n\mathbb{\in }\mathbb{Q}$, que viene dado por la serie:

$${(1+x)}^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}{x}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}{x}^3+\dots ,\left|x\right|<1$$

A diferencia del caso $n\mathbb{\in }\mathbb{N}$, cuando $n$ es fraccionario o negativo el desarrollo no termina, es decir, se obtiene una serie infinita, y solo es válida (converge) cuando $\left|x\right|<1$.